Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou trata de um operador linear definido por:
Vamos resolver as três partes do exercício usando conceitos de álgebra linear, como isomorfismo, matrizes de operadores lineares e inversão de funções.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que é um isomorfismo.
Primeiro, vamos lembrar que um operador linear é um isomorfismo se ele for bijetivo, ou seja, injetivo e sobrejetivo. Em espaços de dimensão finita, como , isso é equivalente a dizer que a matriz associada a é invertível, ou seja, seu determinante é diferente de zero.
Vamos encontrar a matriz de na base canônica :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Como o determinante é , a matriz é invertível, o que significa que é um isomorfismo.
Passo 3
Parte (b): Encontrar a matriz .
Sabemos que se é a matriz de , então é simplesmente a inversa dessa matriz.
Vamos calcular a inversa de:
Para encontrar a inversa, podemos usar métodos como a matriz adjunta ou a eliminação de Gauss. Aqui, vamos usar a eliminação de Gauss.
Após realizar os cálculos (detalhes omitidos para brevidade), obtemos: