Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(2 x, 4 x-y, 2 x+3 y-z)
(a) Mostre que T é um isomorfismo.
(b) Encontre a matriz [T^-1]alpha^alpha onde alpha é a base canônica de R^3.
© Determine T^-1(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou trata de um operador linear T(x, y, z)=(2x, 4x - y, 2x + 3y - z) definido por:
Vamos resolver as três partes do exercício usando conceitos de álgebra linear, como isomorfismo, matrizes de operadores lineares e inversão de funções.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que [T]alpha^alpha = 2 & 0 & 0 4 & -1 & 0 2 & 3 & -1 é um isomorfismo.
Primeiro, vamos lembrar que um operador linear é um isomorfismo se ele for bijetivo, ou seja, injetivo e sobrejetivo. Em espaços de dimensão finita, como det([T]alpha^alpha) = 2 cdot (-1) cdot (-1) + 0 cdot 0 cdot 2 + 0 cdot 4 cdot 3 - 0 cdot (-1) cdot 2 - 0 cdot 0 cdot 2 - (-1) cdot 4 cdot 0 = 2 , isso é equivalente a dizer que a matriz associada a é invertível, ou seja, seu determinante é diferente de zero.
Vamos encontrar a matriz de na base canônica :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Como o determinante é , a matriz é invertível, o que significa que é um isomorfismo.

Passo 3

Parte (b): Encontrar a matriz [T]alpha^alpha = 2 & 0 & 0 4 & -1 & 0 2 & 3 & -1 .
Sabemos que se [T^-1]alpha^alpha = 12 & 0 & 0 2 & -1 & 0 -1 & -3 & -1 é a matriz de , então é simplesmente a inversa dessa matriz.
Vamos calcular a inversa de:
Para encontrar a inversa, podemos usar métodos como a matriz adjunta ou a eliminação de Gauss. Aqui, vamos usar a eliminação de Gauss.
Após realizar os cálculos (detalhes omitidos para brevidade), obtemos:

Passo 4

Parte ©: Determinar T^-1(x, y, z) = 12 & 0 & 0 2 & -1 & 0 -1 & -3 & -1 x y z = 12x 2x - y - x - 3y - z .
Agora que temos a matriz inversa , podemos usá-la para encontrar .
Vamos multiplicar a matriz inversa pelo vetor :

$$
T^{-1}(x, y, z) =

$$

Resposta

(a) 12 & 0 & 0 2 & -1 & 0 -1 & -3 & -1 é um isomorfismo porque sua matriz associada é invertível ( T^-1(x, y, z) = ( 12x,; 2x - y,; -x - 3y - z ) ).
(b) A matriz é:
© A função inversa é:

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