Considere o operador linear definido por
(a) Mostre que é um isomorfismo.
(b) Encontre a matriz onde é a base canônica de .
© Determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou trata de um operador linear definido por:
Vamos resolver as três partes do exercício usando conceitos de álgebra linear, como isomorfismo, matrizes de operadores lineares e inversão de funções.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que é um isomorfismo.
Primeiro, vamos lembrar que um operador linear é um isomorfismo se ele for bijetivo, ou seja, injetivo e sobrejetivo. Em espaços de dimensão finita, como , isso é equivalente a dizer que a matriz associada a é invertível, ou seja, seu determinante é diferente de zero.
Vamos encontrar a matriz de na base canônica :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Como o determinante é , a matriz é invertível, o que significa que é um isomorfismo.

Passo 3

Parte (b): Encontrar a matriz .
Sabemos que se é a matriz de , então é simplesmente a inversa dessa matriz.
Vamos calcular a inversa de:
Para encontrar a inversa, podemos usar métodos como a matriz adjunta ou a eliminação de Gauss. Aqui, vamos usar a eliminação de Gauss.
Após realizar os cálculos (detalhes omitidos para brevidade), obtemos:

Passo 4

Parte ©: Determinar .
Agora que temos a matriz inversa , podemos usá-la para encontrar .
Vamos multiplicar a matriz inversa pelo vetor :

$$
T^{-1}(x, y, z) =

$$

Resposta

(a) é um isomorfismo porque sua matriz associada é invertível ( ).
(b) A matriz é:
© A função inversa é:

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definida por , onde
Resolva o sistema linear dado por qualquer método:
Seja a transformação linear tal que
onde e são bases ordenadas de e respectivamente. Determine .
Considere o operador linear definido por
(a) Mostre que é um isomorfismo.
(b) Encontre a matriz onde é a base canônica de .
© Determine .