F: M2(R) M2(R) definida por F(X)=M X-X M, onde
M=(ll 1 & 2 0 & 1 )

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício fala sobre uma função M = 1 & 2 0 & 1 que pega qualquer matriz de tamanho 2x2 com números reais e faz uma operação específica com ela. A função é definida por , onde é a matriz dada:
Então, o que vamos precisar aqui é entender como multiplicar matrizes e como subtrair o resultado dessas multiplicações para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma matriz genérica X = a & b c & d que pertence a , ou seja, é uma matriz 2x2 com entradas reais. Vamos chamar os elementos de de e :
Nosso objetivo é calcular .

Passo 3

Vamos calcular MX = 1 & 2 0 & 1 a & b c & d = 1 cdot a + 2 cdot c & 1 cdot b + 2 cdot d 0 cdot a + 1 cdot c & 0 cdot b + 1 cdot d = a + 2c & b + 2d c & d primeiro. Lembre-se que para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira pela coluna da segunda e somamos os resultados. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular XM = a & b c & d 1 & 2 0 & 1 = a cdot 1 + b cdot 0 & a cdot 2 + b cdot 1 c cdot 1 + d cdot 0 & c cdot 2 + d cdot 1 = a & 2a + b c & 2c + d :

Passo 5

Agora que temos F(X) = MX - XM = a + 2c & b + 2d c & d - a & 2a + b c & 2c + d = (a + 2c) - a & (b + 2d) - (2a + b) c - c & d - (2c + d) e F(X) = 2c & 2d - 2a 0 & -2c , vamos subtrair de para encontrar :
Simplificando cada elemento:

Resposta

A aplicação da função F(X) = 2c & 2d - 2a 0 & -2c sobre a matriz resulta em:

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