Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(x-y, 2 y, y+z)
(a) Mostre que T é um isomorfismo.
(b) Encontre a matriz [T^-1]alpha^alpha onde alpha é a base canônica de R^3.
© Determine T^-1(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou envolve operadores lineares em álgebra linear. A gente vai trabalhar com um operador linear definido por . Vamos precisar entender conceitos como isomorfismo, matriz inversa de um operador linear, e como calcular a imagem inversa desse operador. Vamos resolver as partes (a), (b) e © passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que é um isomorfismo.
Primeiro, precisamos lembrar o que é um isomorfismo. Um operador linear é um isomorfismo se ele for bijetor, ou seja, se for injetor (não possui dois vetores diferentes que mapeiem para o mesmo vetor) e sobrejetor (cobre todo o espaço de chegada). Outra forma prática de verificar se é isomorfo é checar se a matriz associada a é invertível, ou seja, se seu determinante é diferente de zero.

Passo 3

Vamos encontrar a matriz de [T]alpha^alpha = 1 & -1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 na base canônica de . A matriz de um operador linear é formada aplicando nos vetores da base canônica e organizando os resultados como colunas.
A base canônica de é , onde:
Vamos calcular , e :
Então, a matriz de na base canônica é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar se ela é invertível. Se o determinante for diferente de zero, det([T]alpha^alpha) = 1 & -1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 é um isomorfismo.
Calculando o determinante da matriz = 1 cdot 2 & 0 1 & 1 - (-1) cdot 0 & 0 0 & 1 + 0 cdot 0 & 2 0 & 1 :
= 1 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 1) - (-1) cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 0) + 0
Expandindo pelo primeiro elemento:
= 1 cdot 2 - (-1) cdot 0 + 0 = 2 + 0 + 0 = 2
Calculando os determinantes menores:
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, a matriz é invertível. Portanto, o operador é um isomorfismo.

Passo 5

Parte (b): Encontrar a matriz [T]alpha^alpha = 1 & -1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 , onde é a base canônica de .
Como é um isomorfismo, sua matriz associada é invertível. Para encontrar , precisamos calcular a inversa da matriz .
A matriz de é:
Vamos encontrar sua inversa .

Passo 6

Para calcular a inversa de uma matriz 3x3, podemos usar o método da matriz adjunta ou algoritmos mais eficientes, mas vamos seguir um passo a passo simplificado.
Primeiro, sabemos que a matriz inversa [ ccc|ccc 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ] de uma matriz Linha 3 = Linha 3 - 12 times Linha 2 satisfaz ccc|ccc 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -12 & 1 , onde Linha 2 = 12 times Linha 2 é a matriz identidade.
Vamos montar a matriz aumentada ccc|ccc 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 12 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -12 & 1 e aplicar operações elementares para transformá-la em Linha 1 = Linha 1 + Linha 2 .
ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 12 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 12 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -12 & 1
Agora, vamos realizar as operações necessárias:
  1. Já temos um 1 na posição (1,1). Vamos zerar os elementos abaixo.
  2. Na linha 2, já temos um 2 na posição (2,2). Vamos deixar como está.
  3. Na linha 3, queremos zerar o elemento (3,2). Para isso, podemos substituir a linha 3 por (linha 3) - (1/2)(linha 2):
[T^-1]alpha^alpha = 1 & 12 & 0 0 & 12 & 0 0 & -12 & 1
Calculando:
  1. Agora, queremos ter 1 na posição (2,2). Dividimos a linha 2 por 2:
  1. Agora, vamos zerar os elementos acima da posição (2,2). Substituímos a linha 1 pela soma da linha 1 com a linha 2:
Agora, a parte esquerda da matriz aumentada é a identidade, então a parte direita é :

Passo 7

Parte ©: Determinar [T^-1]alpha^alpha = 1 & 12 & 0 0 & 12 & 0 0 & -12 & 1 .
Sabendo a matriz inversa T^-1(x, y, z) = [T^-1]alpha^alpha cdot x y z , podemos encontrar a expressão de 1 & 12 & 0 0 & 12 & 0 0 & -12 & 1 cdot x y z = 1 cdot x + 12 cdot y + 0 cdot z 0 cdot x + 12 cdot y + 0 cdot z 0 cdot x - 12 cdot y + 1 cdot z = x + 12 y 12 y z - 12 y .
A matriz inversa é:
T^-1(x, y, z) = ( x + 12 y, 12 y, z - 12 y )
Para encontrar , interpretamos como um vetor coluna e multiplicamos pela matriz inversa:
Calculando a multiplicação:

[

\cdot


]
Então,

Resposta

(a) O operador [T^-1]alpha^alpha = 1 & 12 & 0 0 & 12 & 0 0 & -12 & 1 é um isomorfismo porque sua matriz associada tem determinante diferente de zero, indicando que é invertível.
(b) A matriz inversa de T^-1(x, y, z) = ( x + 12 y, 12 y, z - 12 y ) na base canônica é:
© A aplicação inversa de é dada por:

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