Primeiro, precisamos lembrar o que é um isomorfismo. Um operador linear é um isomorfismo se ele for bijetor, ou seja, se for injetor (não possui dois vetores diferentes que mapeiem para o mesmo vetor) e sobrejetor (cobre todo o espaço de chegada). Outra forma prática de verificar se é isomorfo é checar se a matriz associada a é invertível, ou seja, se seu determinante é diferente de zero.
Passo 3
Vamos encontrar a matriz de na base canônica de . A matriz de um operador linear é formada aplicando nos vetores da base canônica e organizando os resultados como colunas.
A base canônica de é , onde:
Vamos calcular , e :
Então, a matriz de na base canônica é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar se ela é invertível. Se o determinante for diferente de zero, det([T]alpha^alpha) = 1 & -1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 é um isomorfismo.
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, a matriz é invertível. Portanto, o operador é um isomorfismo.
Passo 5
Parte (b): Encontrar a matriz [T]alpha^alpha = 1 & -1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 , onde é a base canônica de .
Como é um isomorfismo, sua matriz associada é invertível. Para encontrar , precisamos calcular a inversa da matriz .
A matriz de é:
Vamos encontrar sua inversa .
Passo 6
Para calcular a inversa de uma matriz 3x3, podemos usar o método da matriz adjunta ou algoritmos mais eficientes, mas vamos seguir um passo a passo simplificado.
Primeiro, sabemos que a matriz inversa [ ccc|ccc 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ] de uma matriz Linha 3 = Linha 3 - 12 times Linha 2 satisfaz ccc|ccc 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -12 & 1 , onde Linha 2 = 12 times Linha 2 é a matriz identidade.
Vamos montar a matriz aumentada ccc|ccc 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 12 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -12 & 1 e aplicar operações elementares para transformá-la em Linha 1 = Linha 1 + Linha 2 .
Sabendo a matriz inversa T^-1(x, y, z) = [T^-1]alpha^alpha cdot x y z , podemos encontrar a expressão de 1 & 12 & 0 0 & 12 & 0 0 & -12 & 1 cdot x y z = 1 cdot x + 12 cdot y + 0 cdot z 0 cdot x + 12 cdot y + 0 cdot z 0 cdot x - 12 cdot y + 1 cdot z = x + 12 y 12 y z - 12 y .
A matriz inversa é:
T^-1(x, y, z) = ( x + 12 y, 12 y, z - 12 y )
Para encontrar , interpretamos como um vetor coluna e multiplicamos pela matriz inversa:
Calculando a multiplicação:
[
\cdot
]
Então,
Resposta
(a) O operador [T^-1]alpha^alpha = 1 & 12 & 0 0 & 12 & 0 0 & -12 & 1 é um isomorfismo porque sua matriz associada tem determinante diferente de zero, indicando que é invertível.
(b) A matriz inversa de T^-1(x, y, z) = ( x + 12 y, 12 y, z - 12 y ) na base canônica é: