Primeiro, precisamos lembrar o que é um isomorfismo. Um operador linear é um isomorfismo se ele for bijetor, ou seja, se for injetor (não possui dois vetores diferentes que mapeiem para o mesmo vetor) e sobrejetor (cobre todo o espaço de chegada). Outra forma prática de verificar se é isomorfo é checar se a matriz associada a é invertível, ou seja, se seu determinante é diferente de zero.
Passo 3
Vamos encontrar a matriz de na base canônica de . A matriz de um operador linear é formada aplicando nos vetores da base canônica e organizando os resultados como colunas.
A base canônica de é , onde:
Vamos calcular , e :
Então, a matriz de na base canônica é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar se ela é invertível. Se o determinante for diferente de zero, é um isomorfismo.
Calculando o determinante da matriz :
Expandindo pelo primeiro elemento:
Calculando os determinantes menores:
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, a matriz é invertível. Portanto, o operador é um isomorfismo.
Passo 5
Parte (b): Encontrar a matriz , onde é a base canônica de .
Como é um isomorfismo, sua matriz associada é invertível. Para encontrar , precisamos calcular a inversa da matriz .
A matriz de é:
Vamos encontrar sua inversa .
Passo 6
Para calcular a inversa de uma matriz 3x3, podemos usar o método da matriz adjunta ou algoritmos mais eficientes, mas vamos seguir um passo a passo simplificado.
Primeiro, sabemos que a matriz inversa de uma matriz satisfaz , onde é a matriz identidade.
Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para transformá-la em .
Agora, vamos realizar as operações necessárias:
Já temos um 1 na posição (1,1). Vamos zerar os elementos abaixo.
Na linha 2, já temos um 2 na posição (2,2). Vamos deixar como está.
Na linha 3, queremos zerar o elemento (3,2). Para isso, podemos substituir a linha 3 por (linha 3) - (1/2)(linha 2):
Calculando:
Agora, queremos ter 1 na posição (2,2). Dividimos a linha 2 por 2:
Agora, vamos zerar os elementos acima da posição (2,2). Substituímos a linha 1 pela soma da linha 1 com a linha 2:
Agora, a parte esquerda da matriz aumentada é a identidade, então a parte direita é :