onde e são bases ordenadas de e respectivamente. Determine .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear representada pela matriz que está em relação às bases e . O objetivo aqui é descobrir como essa transformação atua em um vetor qualquer de . Para isso, vamos precisar entender como mudar de base e como aplicar a transformação usando as matrizes dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz que transforma coordenadas de uma base para outra. Aqui, é a matriz que transforma coordenadas da base em coordenadas da base . As bases são dadas por:
Passo 3
Para encontrar , precisamos seguir alguns passos:
Expressar o vetor na base : Isso significa encontrar as coordenadas de em relação à base .
Aplicar a matriz : Multiplicar a matriz pela representação do vetor na base .
Converter de volta para a base padrão em : Utilizar a base para obter o resultado final em coordenadas padrão.
Passo 4
1. Expressando na base :
Suponha que . Precisamos encontrar e .
Isso resulta no sistema:
Resolvendo:
Portanto, as coordenadas de na base são .
Passo 5
2. Aplicando a matriz :
A matriz dada é:
Multiplicamos essa matriz pelo vetor de coordenadas na base :
Passo 6
3. Convertendo para a base padrão usando :
As coordenadas que obtivemos estão na base . Para encontrar na base padrão de , multiplicamos pelas vetores da base :