onde alpha=(2,-1),(0,2) e beta=(1,1,0),(0,0,-1),(1,0,1) são bases ordenadas de R^2 e R^3 respectivamente. Determine T(x, y).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear representada pela matriz que está em relação às bases e . O objetivo aqui é descobrir como essa transformação atua em um vetor qualquer de . Para isso, vamos precisar entender como mudar de base e como aplicar a transformação usando as matrizes dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz que transforma coordenadas de uma base para outra. Aqui, alpha = (2, -1), (0, 2) em R^2 é a matriz que transforma coordenadas da base beta = (1, 1, 0), (0, 0, -1), (1, 0, 1) em R^3 em coordenadas da base . As bases são dadas por:
Passo 3
Para encontrar , precisamos seguir alguns passos:
Expressar o vetor na base : Isso significa encontrar as coordenadas de em relação à base .
Aplicar a matriz : Multiplicar a matriz pela representação do vetor na base .
Converter de volta para a base padrão em : Utilizar a base para obter o resultado final em coordenadas padrão.
Passo 4
1. Expressando 2c1 + 0c2 = x -1c1 + 2c2 = y na base c1 = x2 :
Suponha que - x2 + 2c2 = y Rightarrow c2 = y + x22 = x + 2y4 . Precisamos encontrar x2 x + 2y4 e .
[T]beta^alpha cdot x2 x + 2y4 = 1 cdot x2 + 0 cdot x + 2y4 2 cdot x2 + 0 cdot x + 2y4 0 cdot x2 + (-2) cdot x + 2y4 = x2 x - x + 2y2
Multiplicamos essa matriz pelo vetor de coordenadas na base :
Passo 6
3. Convertendo para a base padrão usando T(x, y) = x2(1, 1, 0) + x(0, 0, -1) - x + 2y2(1, 0, 1) :
As coordenadas que obtivemos estão na base x2(1, 1, 0) = ( x2, x2, 0 ) . Para encontrar x(0, 0, -1) = (0, 0, -x) na base padrão de - x + 2y2(1, 0, 1) = ( -x + 2y2, 0, -x + 2y2 ) , multiplicamos pelas vetores da base T(x, y) = ( x2 - x + 2y2, x2 + 0, 0 - x - x + 2y2 ) :
T(x, y) = ( x - x - 2y2, x2, -x - x2 - y ) = ( -y, x2, -3x2 - y )
Vamos calcular cada componente:
Somando tudo:
Simplificando cada componente:
Resposta
A transformação T(x, y) = ( -y, x2, -3x2 - y ) é dada por: