Seja a transformação linear tal que
onde e são bases ordenadas de e respectivamente. Determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear representada pela matriz que está em relação às bases e . O objetivo aqui é descobrir como essa transformação atua em um vetor qualquer de . Para isso, vamos precisar entender como mudar de base e como aplicar a transformação usando as matrizes dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz que transforma coordenadas de uma base para outra. Aqui, é a matriz que transforma coordenadas da base em coordenadas da base . As bases são dadas por:

Passo 3

Para encontrar , precisamos seguir alguns passos:
  1. Expressar o vetor na base : Isso significa encontrar as coordenadas de em relação à base .
  2. Aplicar a matriz : Multiplicar a matriz pela representação do vetor na base .
  3. Converter de volta para a base padrão em : Utilizar a base para obter o resultado final em coordenadas padrão.

Passo 4

1. Expressando na base :
Suponha que . Precisamos encontrar e .
Isso resulta no sistema:
Resolvendo:
Portanto, as coordenadas de na base são .

Passo 5

2. Aplicando a matriz :
A matriz dada é:
Multiplicamos essa matriz pelo vetor de coordenadas na base :

Passo 6

3. Convertendo para a base padrão usando :
As coordenadas que obtivemos estão na base . Para encontrar na base padrão de , multiplicamos pelas vetores da base :
Vamos calcular cada componente:
Somando tudo:
Simplificando cada componente:

Resposta

A transformação é dada por:

Exercícios relacionados

Considere o operador linear definido por
(a) Mostre que é um isomorfismo.
(b) Encontre a matriz onde é a base canônica de .
© Determine .
definida por , onde
Considere o operador linear definido por
(a) Mostre que é um isomorfismo.
(b) Encontre a matriz onde é a base canônica de .
© Determine .
Seja , definida por
Sejam e as bases canônicas de e , respectivamente, e . Encontre .