Resolva o sistema linear dado por qualquer método:
-2 w+x+3 y-2 z=0
2 I1-I2+3 I3+4 I4 & =9 I1-2 I3+7 I4 & =11 3 I1-3 I2+I3+5 I4 & =8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. O enunciado nos apresenta duas partes:
  1. Primeira Equação:
    -2w + x + 3y - 2z = 0
    • Conteúdo: Essa é uma equação linear com quatro variáveis: 2 I1 - I2 + 3 I3 + 4 I4 & = 9 I1 - 2 I3 + 7 I4 & = 11 3 I1 - 3 I2 + I3 + 5 I4 & = 8 .
    • O que precisamos: Como temos apenas uma equação e quatro variáveis, não dá para encontrar valores únicos para cada variável. Precisaremos de mais informações ou de relacionamentos entre as variáveis.
  2. Sistema de Equações:
    • Conteúdo: Um sistema de três equações lineares com quatro variáveis: .
    • O que precisamos: Resolver esse sistema utilizando métodos como substituição, eliminação ou matrizes.
Vamos focar no sistema de equações para encontrar uma solução possível.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema para facilitar a resolução. Estamos lidando com:
2 I1 - I2 + 3 I3 + 4 I4 = 9 (Equação 1) I1 - 2 I3 + 7 I4 = 11 (Equação 2) 3 I1 - 3 I2 + I3 + 5 I4 = 8 (Equação 3) çãçãçã
Vamos usar o método de eliminação, que consiste em combinar as equações para eliminar uma das variáveis.

Passo 3

Vamos começar eliminando 2(I1 - 2 I3 + 7 I4) = 2 times 11 Rightarrow 2 I1 - 4 I3 + 14 I4 = 22 . Para isso, podemos multiplicar a Equação 2 por 2 e subtrair da Equação 1:
  • Multiplicando a Equação 2 por 2:
    (2 I1 - I2 + 3 I3 + 4 I4) - (2 I1 - 4 I3 + 14 I4) &= 9 - 22 0 I1 - I2 + 7 I3 - 10 I4 &= -13
  • Subtraindo essa nova equação da Equação 1:
    -I2 + 7 I3 - 10 I4 = -13 (Equação 4)
Agora, temos uma nova equação sem :
çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar 3(I1 - 2 I3 + 7 I4) = 3 times 11 Rightarrow 3 I1 - 6 I3 + 21 I4 = 33 novamente, mas usando a Equação 3. Podemos multiplicar a Equação 2 por 3 e subtrair da Equação 3:
  • Multiplicando a Equação 2 por 3:
    (3 I1 - 3 I2 + I3 + 5 I4) - (3 I1 - 6 I3 + 21 I4) &= 8 - 33 0 I1 - 3 I2 + 7 I3 - 16 I4 &= -25
  • Subtraindo essa nova equa��ão da Equação 3:
    -3 I2 + 7 I3 - 16 I4 = -25 (Equação 5)
Agora, temos mais uma equação sem :
çã

Passo 5

Agora, temos duas equações com apenas três variáveis ( -I2 + 7 I3 - 10 I4 = -13 (Equação 4) -3 I2 + 7 I3 - 16 I4 = -25 (Equação 5) ):
3(-I2 + 7 I3 - 10 I4) = 3 times (-13) Rightarrow -3 I2 + 21 I3 - 30 I4 = -39 çãçã
Vamos tentar eliminar (-3 I2 + 21 I3 - 30 I4) + (-3 I2 + 7 I3 - 16 I4) &= -39 + (-25) -6 I2 + 28 I3 - 46 I4 &= -64 . Para isso, podemos multiplicar a Equação 4 por 3 e somar à Equação 5:
  • Multiplicando a Equação 4 por 3:
    -3 I2 + 14 I3 - 23 I4 = -32 (Equação 6)
  • Somando com a Equação 5:
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
çã

Passo 6

Agora, voltamos às Equações 4 e 6 para resolver em termos de -I2 + 7 I3 - 10 I4 = -13 (Equação 4) -3 I2 + 14 I3 - 23 I4 = -32 (Equação 6) :
-I2 = -13 - 7 I3 + 10 I4 I2 = 13 + 7 I3 - 10 I4 çãçã
Vamos resolver a Equação 4 para -3(13 + 7 I3 - 10 I4) + 14 I3 - 23 I4 = -32 :
-39 - 21 I3 + 30 I4 + 14 I3 - 23 I4 = -32
Agora, substituímos -39 - 7 I3 + 7 I4 = -32 na Equação 6:
Expandindo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos resolver para uma das variáveis restantes. Vamos isolar -7 I3 + 7 I4 = -32 + 39 -7 I3 + 7 I4 = 7 -7(I3 - I4) = 7 I3 - I4 = -1 I3 = I4 - 1 :
Agora, temos em termos de . Como temos mais variáveis do que equações, vamos considerar como um parâmetro livre. Vamos chamar , onde pode ser qualquer número real.

Passo 8

Com I3 = t - 1 , podemos encontrar I2 = 13 + 7(I3) - 10(I4) = 13 + 7(t - 1) - 10t :
I2 = 13 + 7t - 7 -10t = 6 - 3t
Agora, substituímos e em termos de na expressão de :

Passo 9

Agora, temos I1 - 2 I3 + 7 I4 = 11 e I1 - 2(t - 1) + 7t = 11 em termos de I1 - 2t + 2 + 7t = 11 . Vamos substituir esses valores na Equação 2 para encontrar I1 + 5t + 2 = 11 :
I1 = 11 - 2 -5t = 9 -5t

Passo 10

Agora, temos todas as variáveis em termos de I1 = 9 - 5t I2 = 6 - 3t I3 = t - 1 I4 = t :
Isso significa que o sistema possui infinitas soluções, dependendo do valor escolhido para .

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
I1 = 9 - 5t I2 = 6 - 3t I3 = t - 1 I4 = t
onde é um número real qualquer.

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