onde e são as bases canônicas de e , respectivamente. Determine .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre uma transformação linear. A gente tem a matriz dessa transformação em relação às bases canônicas, e nosso objetivo é determinar como atua em qualquer vetor do . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes de transformações, bases canônicas e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a matriz representa. Aqui, e são as bases canônicas de e , respectivamente. A matriz dada é:
Essa matriz tem dimensões , pois é um espaço de dimensão 4 (já que cada matriz pode ser vista como um vetor de 4 componentes).
Passo 3
Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica de através da transformação . Ou seja:
A primeira coluna representa , onde .
A segunda coluna representa , onde .
Passo 4
Agora, vamos transformar essas colunas de volta para matrizes . A ordenação típica é por coluna, ou seja:
Para :
Para :
Passo 5
Com as imagens dos vetores da base conhecidas, podemos expressar como uma combinação linear dessas imagens: