Seja T: R^2 M(2,2) a transformação linear tal que
[T]beta^alpha=[cc 2 & 1 1 & -1 -1 & 0 0 & 1 ]
onde alpha e beta são as bases canônicas de R^2 e M(2,2), respectivamente. Determine T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre uma transformação linear . A gente tem a matriz dessa transformação em relação às bases canônicas, e nosso objetivo é determinar como atua em qualquer vetor do . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes de transformações, bases canônicas e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a matriz [T]beta^alpha = 2 & 1 1 & -1 -1 & 0 0 & 1 representa. Aqui, e são as bases canônicas de e , respectivamente. A matriz dada é:
Essa matriz tem dimensões , pois é um espaço de dimensão 4 (já que cada matriz pode ser vista como um vetor de 4 componentes).

Passo 3

Cada coluna da matriz 2 1 -1 0 corresponde à imagem dos vetores da base canônica de 1 -1 0 1 através da transformação . Ou seja:
  • A primeira coluna representa , onde .
  • A segunda coluna representa , onde .

Passo 4

Agora, vamos transformar essas colunas de volta para matrizes T(e1) = 2 & -1 1 & 0 . A ordenação típica é por coluna, ou seja:
Para T(e2) = 1 & 0 -1 & 1 :
Para :

Passo 5

Com as imagens dos vetores da base conhecidas, podemos expressar T(x, y) = x cdot T(e1) + y cdot T(e2) como uma combinação linear dessas imagens:
T(x, y) = x 2 & -1 1 & 0 + y 1 & 0 -1 & 1
Substituindo as matrizes que encontramos:

Passo 6

Vamos multiplicar cada matriz pelos escalares x 2 & -1 1 & 0 = 2x & -x x & 0 e y 1 & 0 -1 & 1 = y & 0 -y & y :

Passo 7

Agora, vamos somar as duas matrizes resultantes:
T(x, y) = 2x & -x x & 0 + y & 0 -y & y = 2x + y & -x + 0 x - y & 0 + y
Simplificando:
T(x, y) = 2x + y & -x x - y & y

Resposta

A transformação linear T(x, y) = 2x + y & -x x - y & y é dada por:

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