Seja a transformação linear tal que
onde e são as bases canônicas de e , respectivamente. Determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre uma transformação linear . A gente tem a matriz dessa transformação em relação às bases canônicas, e nosso objetivo é determinar como atua em qualquer vetor do . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes de transformações, bases canônicas e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a matriz representa. Aqui, e são as bases canônicas de e , respectivamente. A matriz dada é:
Essa matriz tem dimensões , pois é um espaço de dimensão 4 (já que cada matriz pode ser vista como um vetor de 4 componentes).

Passo 3

Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica de através da transformação . Ou seja:
  • A primeira coluna representa , onde .
  • A segunda coluna representa , onde .

Passo 4

Agora, vamos transformar essas colunas de volta para matrizes . A ordenação típica é por coluna, ou seja:
Para :
Para :

Passo 5

Com as imagens dos vetores da base conhecidas, podemos expressar como uma combinação linear dessas imagens:
Substituindo as matrizes que encontramos:

Passo 6

Vamos multiplicar cada matriz pelos escalares e :

Passo 7

Agora, vamos somar as duas matrizes resultantes:
Simplificando:

Resposta

A transformação linear é dada por:

Exercícios relacionados

Seja , definida por
Sejam e as bases canônicas de e , respectivamente, e . Encontre .
Considere o operador linear definido por
(a) Mostre que é um isomorfismo.
(b) Encontre a matriz onde é a base canônica de .
© Determine .
Sejam e transformações lineares, dadas por
Determine onde é a base canônica de .
Seja a transformação linear definida por
Considere as bases ordenadas de e de . Determine:
(a) .
(b) .
© e .