Sejam e as bases canônicas de e , respectivamente, e . Encontre .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as matrizes representativas de uma transformação linear que vai de matrizes para o espaço . Estamos trabalhando com bases específicas: as bases canônicas de e de , além de uma base alternativa para . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar em termos dessas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação . Ela pega uma matriz :
e a transforma em um vetor em :
Isso significa que a função está somando os elementos das diagonais e as fora das diagonais da matriz.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que são as bases canônicas. Para , a base canônica é:
E para , a base canônica consiste nas matrizes que têm 1 em uma posição e 0 nas outras:
A base dada é uma base alternativa para :
Passo 4
Vamos começar encontrando a matriz representativa de em relação às bases canônicas e , ou seja, .
Para isso, aplicamos a cada uma das matrizes da base e escrevemos os resultados em termos da base .
Vamos aplicar às matrizes da base :
Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz :
Passo 5
Agora, vamos encontrar . Para isso, precisamos expressar os vetores de na base canônica e então usar a matriz que já encontramos.
Os vetores de são:
Precisamos encontrar como esses vetores se relacionam com a transformação .
No entanto, como é uma base para e mapeia de para , na verdade, o que precisamos é encontrar a matriz de relativa à base no domínio e no codomínio.
Para fazer isso, primeiro precisamos expressar os vetores de em termos da base canônica , e então ajustar a matriz representativa de acordo.
Mas, na verdade, como é uma base para , e estamos mapeando de para , pode haver uma confusão nos índices das bases. Vamos esclarecer:
representa a matriz de em que o domínio usa a base e o codomínio usa a base .
representa a matriz de em que o domínio usa a base e o codomínio usa a base .
Portanto, para encontrar , precisamos converter de para .
Passo 6
Para encontrar , usamos a relação entre as matrizes representativas em diferentes bases. A fórmula que relaciona as duas matrizes é:
onde é a matriz de mudança de base de para .
Vamos encontrar . Essa matriz tem como colunas os vetores da base expressos na base , que no caso são os próprios vetores de , já que é a base canônica: