Seja T: M(2,2) R^2, definida por
T([cc x & y z & w ])=(x+w, y+z)
Sejam alpha e beta as bases canônicas de R^2 e M(2,2), respectivamente, e gamma=(1,-1),(1,2). Encontre [T]alpha^beta e[T]gamma^beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as matrizes representativas de uma transformação linear que vai de matrizes para o espaço . Estamos trabalhando com bases específicas: as bases canônicas de e de , além de uma base alternativa para . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar em termos dessas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação x & y z & w . Ela pega uma matriz T( x & y z & w ) = (x + w, y + z) :
e a transforma em um vetor em :
Isso significa que a função está somando os elementos das diagonais e as fora das diagonais da matriz.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que são as bases canônicas. Para alpha = 1 0, 0 1 , a base canônica beta = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 é:
gamma = 1 -1, 1 2
E para , a base canônica consiste nas matrizes que têm 1 em uma posição e 0 nas outras:
A base dada é uma base alternativa para :

Passo 4

Vamos começar encontrando a matriz representativa de 1 & 0 0 & 0 em relação às bases canônicas 0 & 1 0 & 0 e 0 & 0 1 & 0, ou seja, 0 & 0 0 & 1.
Para isso, aplicamos [T]alpha^beta = 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 a cada uma das matrizes da base e escrevemos os resultados em termos da base .
Vamos aplicar às matrizes da base :
Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz :

Passo 5

Agora, vamos encontrar 1 -1 e 1 2 . Para isso, precisamos expressar os vetores de na base canônica e então usar a matriz que já encontramos.
Os vetores de são:
Precisamos encontrar como esses vetores se relacionam com a transformação .
No entanto, como é uma base para e mapeia de para , na verdade, o que precisamos é encontrar a matriz de relativa à base no domínio e no codomínio.
Para fazer isso, primeiro precisamos expressar os vetores de em termos da base canônica , e então ajustar a matriz representativa de acordo.
Mas, na verdade, como é uma base para , e estamos mapeando de para , pode haver uma confusão nos índices das bases. Vamos esclarecer:
  • representa a matriz de em que o domínio usa a base e o codomínio usa a base .
  • representa a matriz de em que o domínio usa a base e o codomínio usa a base .
Portanto, para encontrar , precisamos converter de para .

Passo 6

Para encontrar [T]gamma^beta = Pgamma alpha cdot [T]alpha^beta , usamos a relação entre as matrizes representativas em diferentes bases. A fórmula que relaciona as duas matrizes é:
Pgamma alpha = 1 & 1 -1 & 2
onde [T]gamma^beta = 1 & 1 -1 & 2 cdot 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 é a matriz de mudança de base de 1 cdot 1 + 1 cdot 0 = 1 1 cdot 0 + 1 cdot 1 = 1 1 cdot 0 + 1 cdot 1 = 1 1 cdot 1 + 1 cdot 0 = 1 para -1 cdot 1 + 2 cdot 0 = -1 -1 cdot 0 + 2 cdot 1 = 2 -1 cdot 0 + 2 cdot 1 = 2 -1 cdot 1 + 2 cdot 0 = -1 .
Vamos encontrar [T]gamma^beta = 1 & 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 2 & -1 . Essa matriz tem como colunas os vetores da base expressos na base , que no caso são os próprios vetores de , já que é a base canônica:
Agora, multiplicamos pela matriz :
Vamos realizar essa multiplicação:
Primeira linha:
Segunda linha:
Então, a matriz fica:

Resposta

As matrizes representativas são:
[T]alpha^beta = 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0
e
[T]gamma^beta = 1 & 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 2 & -1

Exercícios relacionados