Seja
, definida por
Sejam
e
as bases canônicas de
e
, respectivamente, e
. Encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as matrizes representativas de uma transformação linear
que vai de matrizes
para o espaço
. Estamos trabalhando com bases específicas: as bases canônicas
de
e
de
, além de uma base alternativa
para
. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar
em termos dessas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação
. Ela pega uma matriz
:
e a transforma em um vetor em
:
Isso significa que a função
está somando os elementos das diagonais e as fora das diagonais da matriz.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que são as bases canônicas. Para
, a base canônica
é:
E para
, a base canônica
consiste nas matrizes que têm 1 em uma posição e 0 nas outras:
A base
dada é uma base alternativa para
:
Passo 4
Vamos começar encontrando a matriz representativa de
em relação às bases canônicas
e
, ou seja,
.
Para isso, aplicamos
a cada uma das matrizes da base
e escrevemos os resultados em termos da base
.
Vamos aplicar
às matrizes da base
:
Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. Para isso, precisamos expressar os vetores de
na base canônica
e então usar a matriz
que já encontramos.
Os vetores de
são:
Precisamos encontrar como esses vetores se relacionam com a transformação
.
No entanto, como
é uma base para
e
mapeia de
para
, na verdade, o que precisamos é encontrar a matriz de
relativa à base
no domínio e
no codomínio.
Para fazer isso, primeiro precisamos expressar os vetores de
em termos da base canônica
, e então ajustar a matriz representativa
de acordo.
Mas, na verdade, como
é uma base para
, e estamos mapeando de
para
, pode haver uma confusão nos índices das bases. Vamos esclarecer:
-
representa a matriz de em que o domínio usa a base e o codomínio usa a base . -
representa a matriz de em que o domínio usa a base e o codomínio usa a base .
Portanto, para encontrar
, precisamos converter de
para
.
Passo 6
Para encontrar
, usamos a relação entre as matrizes representativas em diferentes bases. A fórmula que relaciona as duas matrizes é:
onde
é a matriz de mudança de base de
para
.
Vamos encontrar
. Essa matriz tem como colunas os vetores da base
expressos na base
, que no caso são os próprios vetores de
, já que
é a base canônica:
Agora, multiplicamos
pela matriz
:
Vamos realizar essa multiplicação:
Primeira linha:
Segunda linha:
Então, a matriz
fica:
Resposta
As matrizes representativas são:
e