8
Considere o operador linear definido por
a) Determinar o vetor tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos um operador linear definido por
O objetivo aqui é encontrar o vetor que, ao passarmos por , resulta no vetor . Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, quando aplicamos o operador ao vetor , obtemos o vetor . Vamos substituir na definição de :
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 3

Vamos escrever o sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas essas equações simultaneamente.

Passo 4

Vamos começar simplificando o sistema. Podemos subtrair a equação (2) da equação (1) para eliminar e :
Aqui, subtraímos as duas equações para eliminar e , ficando apenas com uma equação em .

Passo 5

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor na equação (2) para encontrar e :
Assim, temos uma nova equação (4) que relaciona e .

Passo 6

Vamos substituir na equação (3) para ajudar a encontrar :
Agora, temos outra equação (5) envolvendo e .

Passo 7

Agora, temos o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos resolver esse sistema por adição. Somando as duas equações:
Encontramos que .

Passo 8

Com , vamos substituir na equação (5) para encontrar :
Então, .

Resposta

O vetor que satisfaz é

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5
Seja uma transformação linear. Prove que:
a) é sobrejetora se, e somente se,
Represente o tetraedro no sistema Oxyz.
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
b) tal que
Seja uma transformação linear tal que
sendo a base canônica de .
b) Determine o e uma de suas bases. é sobrejetora?