8
Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(x+2 y+2 z, x+2 y-z,-x+y+4 z)
a) Determinar o vetor u in R^3 tal que T(u)=(-1,8,-11).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos um operador linear T(x, y, z) = (x + 2y + 2z, x + 2y - z, -x + y + 4z) definido por
O objetivo aqui é encontrar o vetor que, ao passarmos por , resulta no vetor . Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa T(x, y, z) = (x + 2y + 2z, x + 2y - z, -x + y + 4z) = (-1, 8, -11) . Isso quer dizer que, quando aplicamos o operador ao vetor , obtemos o vetor . Vamos substituir na definição de :
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 3

Vamos escrever o sistema de equações:
x + 2y + 2z = -1 (1) x + 2y - z = 8 (2) -x + y + 4z = -11 (3)
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas essas equações simultaneamente.

Passo 4

Vamos começar simplificando o sistema. Podemos subtrair a equação (2) da equação (1) para eliminar (x + 2y + 2z) - (x + 2y - z) = -1 - 8 3z = -9 z = -3 e :
Aqui, subtraímos as duas equações para eliminar e , ficando apenas com uma equação em .

Passo 5

Agora que encontramos x + 2y - (-3) = 8 x + 2y + 3 = 8 x + 2y = 5 (4) , vamos substituir esse valor na equação (2) para encontrar e :
Assim, temos uma nova equação (4) que relaciona e .

Passo 6

Vamos substituir - x + y + 4(-3) = -11 - x + y - 12 = -11 - x + y = 1 (5) na equação (3) para ajudar a encontrar :
Agora, temos outra equação (5) envolvendo e .

Passo 7

Agora, temos o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas:
x + 2y = 5 (4) - x + y = 1 (5)
Podemos resolver esse sistema por adição. Somando as duas equações:
(x + 2y) + (-x + y) = 5 + 1 3y = 6 y = 2
Encontramos que .

Passo 8

Com - x + 2 = 1 - x = -1 x = 1 , vamos substituir na equação (5) para encontrar :
Então, .

Resposta

O vetor u = (1, 2, -3) que satisfaz é

Exercícios relacionados