Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos um operador linear definido por
O objetivo aqui é encontrar o vetor que, ao passarmos por , resulta no vetor . Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente resolver um sistema de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, quando aplicamos o operador ao vetor , obtemos o vetor . Vamos substituir na definição de :
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 3
Vamos escrever o sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas essas equações simultaneamente.
Passo 4
Vamos começar simplificando o sistema. Podemos subtrair a equação (2) da equação (1) para eliminar (x + 2y + 2z) - (x + 2y - z) = -1 - 8 3z = -9 z = -3 e :
Aqui, subtraímos as duas equações para eliminar e , ficando apenas com uma equação em .
Passo 5
Agora que encontramos x + 2y - (-3) = 8 x + 2y + 3 = 8 x + 2y = 5 (4) , vamos substituir esse valor na equação (2) para encontrar e :
Assim, temos uma nova equação (4) que relaciona e .
Passo 6
Vamos substituir - x + y + 4(-3) = -11 - x + y - 12 = -11 - x + y = 1 (5) na equação (3) para ajudar a encontrar :
Agora, temos outra equação (5) envolvendo e .
Passo 7
Agora, temos o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas:
x + 2y = 5 (4) - x + y = 1 (5)
Podemos resolver esse sistema por adição. Somando as duas equações:
(x + 2y) + (-x + y) = 5 + 1 3y = 6 y = 2
Encontramos que .
Passo 8
Com - x + 2 = 1 - x = -1 x = 1 , vamos substituir na equação (5) para encontrar :