Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos um operador linear definido por
O objetivo aqui é encontrar o vetor que, ao passarmos por , resulta no vetor . Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente resolver um sistema de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, quando aplicamos o operador ao vetor , obtemos o vetor . Vamos substituir na definição de :
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 3
Vamos escrever o sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas essas equações simultaneamente.
Passo 4
Vamos começar simplificando o sistema. Podemos subtrair a equação (2) da equação (1) para eliminar e :
Aqui, subtraímos as duas equações para eliminar e , ficando apenas com uma equação em .
Passo 5
Agora que encontramos , vamos substituir esse valor na equação (2) para encontrar e :
Assim, temos uma nova equação (4) que relaciona e .
Passo 6
Vamos substituir na equação (3) para ajudar a encontrar :
Agora, temos outra equação (5) envolvendo e .
Passo 7
Agora, temos o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos resolver esse sistema por adição. Somando as duas equações:
Encontramos que .
Passo 8
Com , vamos substituir na equação (5) para encontrar :