Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
b) f: R^2 R tal que f(x, y)=x y

Passo 1

Beleza, temos a função definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e aplicar esses critérios passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição de Vetores: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por Escalar: para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar se essas propriedades são válidas para a função .

Passo 3

Verificando a Adição de Vetores:
Seja f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2)(y1 + y2) e x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 . Então:
f(u) + f(v) = x1y1 + x2y2
Expandindo:
Por outro lado:
Claramente, porque temos termos extras .

Passo 4

Verificando a Multiplicação por Escalar:
Vamos multiplicar o vetor f(cu) = f(cx, cy) = (cx)(cy) = c^2xy por um escalar c cdot f(u) = c(xy) = cxy :
Enquanto:
Aqui, a menos que ou , o que não é geral.

Resposta

A função não é uma transformação linear, pois ela não satisfaz as propriedades de adição de vetores nem de multiplicação por escalar necessárias para ser considerada linear.

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