Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
b)
tal que
b)
Passo 1
Beleza, temos a função
definida por
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e aplicar esses critérios passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição de Vetores:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por Escalar:
para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar se essas propriedades são válidas para a função
.
Passo 3
Verificando a Adição de Vetores:
Seja e
. Então:
Seja
Expandindo:
Por outro lado:
Claramente,
porque temos termos extras
.
Passo 4
Verificando a Multiplicação por Escalar:
Vamos multiplicar o vetor por um escalar
:
Vamos multiplicar o vetor
Enquanto:
Aqui,
a menos que
ou
, o que não é geral.
Resposta
A função
não é uma transformação linear, pois ela não satisfaz as propriedades de adição de vetores nem de multiplicação por escalar necessárias para ser considerada linear.
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8
Considere o operador linear definido por
Considere o operador linear
a) Determinar o vetor
tal que
.
5
Seja uma transformação linear. Prove que:
a) é sobrejetora se, e somente se,
Seja
a)
Seja
uma transformação linear tal que
sendo
a base canônica de
.
b) Determine o e uma de suas bases.
é sobrejetora?
b) Determine o
4
Seja uma transformação linear tal que
Seja
sendo
a base canônica de
.
a) Determine o e uma de suas bases.
é injetora?
a) Determine o