Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
b)
tal que
b)
Passo 1
Beleza, temos a função
definida por
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e aplicar esses critérios passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição de Vetores:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por Escalar:
para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar se essas propriedades são válidas para a função
.
Passo 3
Verificando a Adição de Vetores:
Seja e
. Então:
Seja
Expandindo:
Por outro lado:
Claramente,
porque temos termos extras
.
Passo 4
Verificando a Multiplicação por Escalar:
Vamos multiplicar o vetor por um escalar
:
Vamos multiplicar o vetor
Enquanto:
Aqui,
a menos que
ou
, o que não é geral.
Resposta
A função
não é uma transformação linear, pois ela não satisfaz as propriedades de adição de vetores nem de multiplicação por escalar necessárias para ser considerada linear.