Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
b) tal que

Passo 1

Beleza, temos a função definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e aplicar esses critérios passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição de Vetores: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por Escalar: para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar se essas propriedades são válidas para a função .

Passo 3

Verificando a Adição de Vetores:
Seja e . Então:
Expandindo:
Por outro lado:
Claramente, porque temos termos extras .

Passo 4

Verificando a Multiplicação por Escalar:
Vamos multiplicar o vetor por um escalar :
Enquanto:
Aqui, a menos que ou , o que não é geral.

Resposta

A função não é uma transformação linear, pois ela não satisfaz as propriedades de adição de vetores nem de multiplicação por escalar necessárias para ser considerada linear.

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8
Considere o operador linear definido por
a) Determinar o vetor tal que .
5
Seja uma transformação linear. Prove que:
a) é sobrejetora se, e somente se,
Seja uma transformação linear tal que
sendo a base canônica de .
b) Determine o e uma de suas bases. é sobrejetora?
4
Seja uma transformação linear tal que
sendo a base canônica de .
a) Determine o e uma de suas bases. é injetora?