Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e intersecta a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que intercepta a reta dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações paramétricas de retas no espaço tridimensional. Para isso, precisamos entender como representar uma reta e como encontrar uma reta que passa por um ponto específico e intersecta outra reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
Onde é um ponto na reta e é um vetor diretor da reta.
No nosso caso, já temos um ponto pela qual a reta deve passar: . Então, nossos valores iniciais são , , e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diretor da reta que queremos determinar. Como essa reta deve interceptar a reta , vamos encontrar o ponto de interseção.
Vamos chamar o ponto de interseção de . Esse ponto está na reta , então podemos expressá-lo em termos do parâmetro :
Além disso, também está na reta que estamos procurando, que passa por . Assim, o vetor será nosso vetor diretor.

Passo 4

Vamos expressar em termos de :
Esse vetor deve ser proporcional ao vetor diretor da reta que estamos buscando. Como a reta que estamos buscando deve ter um único vetor diretor, vamos igualar as componentes correspondentes.

Passo 5

Para que as retas interceptem, os parâmetros devem ser iguais. Então, temos que:
Porém, como estamos procurando uma única solução para , podemos resolver essas equações para encontrar o valor de .
Vamos igualar as duas primeiras frações:
E as duas últimas frações:
No entanto, para simplificar, observamos que o vetor diretor será a diferença entre e :
Como essa diferença deve ser um vetor diretor constante, podemos escolher um valor para que satisfaz a condição de interceptação.

Passo 6

Vamos igualar as coordenadas de com as de mais o vetor diretor.
Desculpe, parece que estamos complicando um pouco. Vamos simplificar:
Como as duas retas se interceptam, o ponto pertence às duas retas. Então, podemos igualar as coordenadas:
Aqui, é o parâmetro da reta que estamos procurando, e são as componentes do vetor diretor.

Passo 7

Vamos resolver essas equações para encontrar e :
  1. \
  2. \
Podemos resolver isso assumindo que o vetor diretor seja paralelo ao vetor .

Passo 8

Assumindo que o vetor diretor seja , e escolhendo um valor de que satisfaça todas as equações, encontramos que .
Então, o ponto de interseção é:

Passo 9

Agora, o vetor diretor é:

Passo 10

Finalmente, as equações paramétricas da reta que passa por e intercepta são:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
onde é o parâmetro.

Exercícios relacionados

Seja . Calcule a distância entre as retas e .
(a) .
(b) .
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial dado.
(d) e , sendo dados.
Sejam e as retas definidas pelas seguintes equações:
Sabendo que e são paralelas, calcule:
(a) A distância entre elas, ;
(b) A equação do plano definido por elas, .
Considere o operador linear sabendo que
é inversível? Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso.