Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(3,1,-2) e intersecta a reta l:lx=-2+t y=4+2 t z=2+t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto x = -2 + t y = 4 + 2t z = 2 + t e que intercepta a reta dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações paramétricas de retas no espaço tridimensional. Para isso, precisamos entender como representar uma reta e como encontrar uma reta que passa por um ponto específico e intersecta outra reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde é um ponto na reta e é um vetor diretor da reta.
No nosso caso, já temos um ponto pela qual a reta deve passar: . Então, nossos valores iniciais são , , e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diretor da reta que queremos determinar. Como essa reta deve interceptar a reta x = -2 + t y = 4 + 2t z = 2 + t , vamos encontrar o ponto de interseção.
Vamos chamar o ponto de interseção de . Esse ponto está na reta , então podemos expressá-lo em termos do parâmetro :
Além disso, também está na reta que estamos procurando, que passa por . Assim, o vetor será nosso vetor diretor.

Passo 4

Vamos expressar AB = (x - 3, y - 1, z + 2) = (-2 + t - 3, 4 + 2t - 1, 2 + t + 2) = (t - 5, 2t + 3, t + 4) em termos de :
Esse vetor deve ser proporcional ao vetor diretor da reta que estamos buscando. Como a reta que estamos buscando deve ter um único vetor diretor, vamos igualar as componentes correspondentes.

Passo 5

Para que as retas interceptem, os parâmetros devem ser iguais. Então, temos que:
t - 5a = 2t + 3b = t + 4c
Porém, como estamos procurando uma única solução para t - 5a = 2t + 3b , podemos resolver essas equações para encontrar o valor de 2t + 3b = t + 4c .
Vamos igualar as duas primeiras frações:
AB = (t - 5, 2t + 3, t + 4)
E as duas últimas frações:
No entanto, para simplificar, observamos que o vetor diretor será a diferença entre e :
Como essa diferença deve ser um vetor diretor constante, podemos escolher um valor para que satisfaz a condição de interceptação.

Passo 6

Vamos igualar as coordenadas de 3 + alambda = -2 + t 1 + blambda = 4 + 2t -2 + clambda = 2 + t com as de mais o vetor diretor.
Desculpe, parece que estamos complicando um pouco. Vamos simplificar:
Como as duas retas se interceptam, o ponto pertence às duas retas. Então, podemos igualar as coordenadas:
Aqui, é o parâmetro da reta que estamos procurando, e são as componentes do vetor diretor.

Passo 7

Vamos resolver essas equações para encontrar e :
  1. \
  2. \
Podemos resolver isso assumindo que o vetor diretor seja paralelo ao vetor .

Passo 8

Assumindo que o vetor diretor seja B(-2 + 1, 4 + 2 times 1, 2 + 1) = (-1, 6, 3) , e escolhendo um valor de que satisfaça todas as equações, encontramos que .
Então, o ponto de interseção é:

Passo 9

Agora, o vetor diretor AB = (-1 - 3, 6 - 1, 3 - (-2)) = (-4, 5, 5) é:

Passo 10

Finalmente, as equações paramétricas da reta que passa por x = 3 - 4lambda y = 1 + 5lambda z = -2 + 5lambda e intercepta são:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 3 - 4lambda y = 1 + 5lambda z = -2 + 5lambda
onde é o parâmetro.

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