Considere o operador linear
Encontre a solução geral de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral da equação
. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e resolver uma equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial completa que vem do operador:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é um número que a gente precisa descobrir. Essa forma é escolhida porque facilita a resolução da equação.
Passo 4
Vamos substituir
na equação diferencial:
A gente pode dividir todos os termos por
(que nunca é zero), ficando com a equação característica:
Passo 5
Agora, a gente resolve a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Isso nos dá as possíveis soluções para a equação diferencial.
Passo 6
Fatorando a equação quadrática:
Então, as soluções são
e
.
Passo 7
Como temos duas raízes reais distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação das soluções individuais:
Aqui,
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral de
é:
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e