Considere o operador linear
Encontre a solução geral de

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear . Nosso objetivo é encontrar a solução geral da equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e resolver uma equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial completa que vem do operador:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma , onde é um número que a gente precisa descobrir. Essa forma é escolhida porque facilita a resolução da equação.

Passo 4

Vamos substituir na equação diferencial:
A gente pode dividir todos os termos por (que nunca é zero), ficando com a equação característica:

Passo 5

Agora, a gente resolve a equação quadrática para encontrar os valores de . Isso nos dá as possíveis soluções para a equação diferencial.

Passo 6

Fatorando a equação quadrática:
Então, as soluções são e .

Passo 7

Como temos duas raízes reais distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação das soluções individuais:
Aqui, e são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral de é:

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