Encontre as soluções gerais das seguintes equações:
(Dica: fatore por agrupamento)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa equação está no campo das Equações Diferenciais Lineares de Ordem 3. Para resolver, vamos precisar usar métodos de fatoração, especificamente por agrupamento, para simplificar a equação e encontrar suas soluções gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar agrupar os termos de forma que possamos fatorar a equação. Observando os termos:
Podemos agrupar da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, vamos fatorar cada grupo. No primeiro grupo
, podemos fatorar
:
No segundo grupo
, podemos fatorar
:
Então, a equação fica:
Passo 4
Perceba que
é um fator comum nos dois termos. Vamos fatorar
:
Isso nos dá duas equações para resolver:
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda equação
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
Onde
e
são constantes de integração.
Resposta
As soluções gerais da equação são:
e
onde
,
e
são constantes quaisquer.
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