Encontre as soluções gerais das seguintes equações: (Dica: fatore por agrupamento)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa equação está no campo das Equações Diferenciais Lineares de Ordem 3. Para resolver, vamos precisar usar métodos de fatoração, especificamente por agrupamento, para simplificar a equação e encontrar suas soluções gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar agrupar os termos de forma que possamos fatorar a equação. Observando os termos:
Podemos agrupar da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, vamos fatorar cada grupo. No primeiro grupo , podemos fatorar :
No segundo grupo , podemos fatorar :
Então, a equação fica:

Passo 4

Perceba que é um fator comum nos dois termos. Vamos fatorar :
Isso nos dá duas equações para resolver:

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação :
Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é uma constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda equação . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
Onde e são constantes de integração.

Resposta

As soluções gerais da equação são:
e
onde , e são constantes quaisquer.

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