Considere o operador linear definido por . Determine:
(a) O polinômio característico de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um operador linear que atua em polinômios de grau até 2, ou seja, . Esse operador transforma um polinômio da forma em . Nosso objetivo aqui é encontrar o polinômio característico desse operador. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes que representem e aplicar alguns conceitos de Álgebra Linear, como determinantes e polinômios características.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher uma base para o espaço . Uma base comum para esse espaço é . Com essa base, cada polinômio pode ser representado como um vetor coluna .
Passo 3
Agora, vamos determinar como o operador age sobre cada vetor da base. Aplicando a cada elemento da base:
Passo 4
Com essas imagens, podemos montar a matriz representativa de na base . Cada coluna da matriz será formada pelas coordenadas das imagens dos vetores da base:
Aqui, a primeira coluna corresponde a , a segunda a e a terceira a .
Passo 5
Agora, para encontrar o polinômio característico de , precisamos calcular o polinômio característico da matriz . O polinômio característico de uma matriz é dado por , onde é um escalar e é a matriz identidade.
Então, montamos :
Passo 6
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
Podemos expandir esse determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Note que a matriz é triangular em relação à terceira linha, então o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Simplificando:
Passo 7
Simplificando ainda mais, podemos reescrever:
Como o sinal negativo pode ser absorvido na ordem dos termos, finalizamos com: