Considere o operador linear definido por . Determine:
(a) O polinômio característico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um operador linear que atua em polinômios de grau até 2, ou seja, . Esse operador transforma um polinômio da forma em . Nosso objetivo aqui é encontrar o polinômio característico desse operador. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes que representem e aplicar alguns conceitos de Álgebra Linear, como determinantes e polinômios características.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher uma base para o espaço . Uma base comum para esse espaço é . Com essa base, cada polinômio pode ser representado como um vetor coluna .

Passo 3

Agora, vamos determinar como o operador age sobre cada vetor da base. Aplicando a cada elemento da base:

Passo 4

Com essas imagens, podemos montar a matriz representativa de na base . Cada coluna da matriz será formada pelas coordenadas das imagens dos vetores da base:
Aqui, a primeira coluna corresponde a , a segunda a e a terceira a .

Passo 5

Agora, para encontrar o polinômio característico de , precisamos calcular o polinômio característico da matriz . O polinômio característico de uma matriz é dado por , onde é um escalar e é a matriz identidade.
Então, montamos :

Passo 6

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
Podemos expandir esse determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Note que a matriz é triangular em relação à terceira linha, então o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Simplificando:

Passo 7

Simplificando ainda mais, podemos reescrever:
Como o sinal negativo pode ser absorvido na ordem dos termos, finalizamos com:

Resposta

O polinômio característico de é .

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Considere o operador linear definido por
Determine: Os autovalores de .
Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de :
a)
Considere o operador linear definido por . Determine: Os autovalores de .
Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de abaixo descritos:
b) matrizes que têm a primeira e a última linhas iguais.