Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de :
a)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de matrizes 2x2 sobre os números reais, , e queremos determinar a dimensão e encontrar uma base para um subespaço vetorial específico desse conjunto. As matrizes desse subespaço satisfazem as condições e . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, dimensão e base.
Passo 2
Vamos começar analisando as condições dadas: e . Isso significa que, em qualquer matriz desse subespaço, o elemento da posição (1,2) é igual à soma do elemento (1,1) com o elemento (2,1), e o elemento (2,2) é igual ao elemento (2,1).
Então, uma matriz genérica desse subespaço pode ser escrita como:
Aqui, e são os elementos livres que podemos escolher livremente.
Passo 3
Agora, identificamos que temos duas variáveis livres: e . Isso significa que podemos expressar qualquer matriz do subespaço como uma combinação linear dessas duas variáveis. A presença de duas variáveis livres indica que a dimensão do subespaço é 2, pois precisamos de duas direções independentes para gerar todo o subespaço.
Passo 4
Para encontrar uma base para o subespaço, precisamos encontrar matrizes que sejam linearmente independentes e que possam gerar qualquer matriz do subespaço através de combinações lineares. Vamos considerar os seguintes valores para as variáveis livres:
Quando e :
[
]
Quando e :
[
]
Essas duas matrizes são linearmente independentes e quaisquer outras matrizes do subespaço podem ser obtidas combinando-as.
Resposta
A dimensão do subespaço é 2 e uma base para ele é formada pelas matrizes