Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de abaixo descritos:
b) matrizes que têm a primeira e a última linhas iguais.
Passo 1
Opa! Vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos. A gente precisa encontrar uma base e descobrir a dimensão de um subespaço específico do conjunto de matrizes 3x3, chamado . O subespaço que estamos analisando é formado por todas as matrizes onde a primeira e a última linhas são iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma base e calcular a dimensão desse subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter a primeira e a última linhas iguais em uma matriz 3x3. Vamos representar uma matriz genérica desse subespaço assim:
Aqui, a primeira linha é e a última linha também precisa ser . A segunda linha pode ser qualquer linha, sem restrições.
Passo 3
Agora, vamos identificar quantos parâmetros livres temos nessa matriz. Os elementos , , , , , e podem ser quaisquer números reais, então temos 6 variáveis livres. Isso significa que a dimensão do subespaço é 6, já que cada variável livre corresponde a uma dimensão.
Passo 4
Para encontrar uma base, precisamos identificar matrizes que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço. Vamos construir essas matrizes considerando cada variável livre de forma isolada.
Primeiro, consideramos :
Depois, :
E :
Agora, as matrizes para , e :
Passo 5
Essas seis matrizes a são linearmente independentes e qualquer matriz do subespaço pode ser escrita como uma combinação linear delas. Portanto, elas formam uma base para o subespaço.