Vamos resumir o enunciado: Temos um operador linear definido por
O objetivo é determinar os autovalores de . Para isso, vamos precisar calcular os valores de que satisfazem a equação característica de . Isso envolve encontrar os valores para os quais o determinante da matriz é igual a zero, onde é a matriz associada a e é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a matriz que representa o operador linear . Observando a definição de , podemos identificar os coeficientes de cada componente:
Passo 3
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade de ordem 3:
Subtraindo da matriz , temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, expandimos o determinante:
Calculando os determinantes menores:
Simplificando:
Passo 5
Expandindo a expressão:
Adicionando os outros termos:
Igualando a zero:
Multiplicando toda a equação por -1 para simplificar:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Vamos testar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as raízes podem ser .