Considere o operador linear definido por
Determine: Os autovalores de .

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos um operador linear definido por
O objetivo é determinar os autovalores de . Para isso, vamos precisar calcular os valores de que satisfazem a equação característica de . Isso envolve encontrar os valores para os quais o determinante da matriz é igual a zero, onde é a matriz associada a e é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz que representa o operador linear . Observando a definição de , podemos identificar os coeficientes de cada componente:

Passo 3

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade de ordem 3:
Subtraindo da matriz , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, expandimos o determinante:
Calculando os determinantes menores:
Simplificando:

Passo 5

Expandindo a expressão:
Adicionando os outros termos:
Igualando a zero:
Multiplicando toda a equação por -1 para simplificar:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Vamos testar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as raízes podem ser .
Testando :
Portanto, é uma raiz.
Agora, vamos fatorar da equação:
Resolvendo :

Resposta

Os autovalores de são , e .

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Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de :
a)
Considere o operador linear definido por . Determine:
(a) O polinômio característico de .
Considere o operador linear definido por . Determine:
(a) O polinômio característico de .
Considere o operador linear definido por . Determine: Os autovalores de .