Considere o operador linear definido por . Determine: Os autovalores de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um operador linear que atua no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, denotado por . O enunciado nos diz que transforma um polinômio da forma em . Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores desse operador .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Em álgebra linear, um autovalor de um operador linear é um número escalar tal que existe um vetor não nulo (chamado de autovetor) que satisfaz a equação:
No nosso caso, estamos trabalhando com polinômios, então será um polinômio em .
Passo 3
Para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica, que vem de:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante da matriz.
Passo 4
Vamos representar como uma matriz. Considerando a base canônica de , que é , vamos ver como atua em cada um dos vetores base:
quando , , , então:
quando , , , então:
quando , , , então:
Então, a matriz de na base é:
Passo 5
Agora, vamos montar a matriz :
[
T - \lambda I =
]
Passo 6
Calculamos o determinante dessa matriz para encontrar a equação característica:
Para calcular o determinante, podemos expandir pela terceira coluna, já que ela tem zeros:
Calculando o determinante da matriz 2x2:
Então:
Passo 7
Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de :