Considere o operador linear definido por . Determine: Os autovalores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um operador linear que atua no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, denotado por . O enunciado nos diz que transforma um polinômio da forma em . Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores desse operador .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Em álgebra linear, um autovalor de um operador linear é um número escalar tal que existe um vetor não nulo (chamado de autovetor) que satisfaz a equação:
No nosso caso, estamos trabalhando com polinômios, então será um polinômio em .

Passo 3

Para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica, que vem de:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante da matriz.

Passo 4

Vamos representar como uma matriz. Considerando a base canônica de , que é , vamos ver como atua em cada um dos vetores base:
  • quando , , , então:
  • quando , , , então:
  • quando , , , então:
Então, a matriz de na base é:

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz :
[
T - \lambda I =


]

Passo 6

Calculamos o determinante dessa matriz para encontrar a equação característica:
Para calcular o determinante, podemos expandir pela terceira coluna, já que ela tem zeros:
Calculando o determinante da matriz 2x2:
Então:

Passo 7

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de :
Isso nos dá:
Resolvendo cada equação:

Resposta

Os autovalores de são e .

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Considere o operador linear definido por . Determine:
(a) O polinômio característico de .
Considere o operador linear definido por
Determine: Os autovalores de .
Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de abaixo descritos:
b) matrizes que têm a primeira e a última linhas iguais.
Seja o operador linear definido por
(a) Considere os seguintes vetores . Quais deles são autovetores de ?