Seja
o operador linear definido por
(a) Considere os seguintes vetores
. Quais deles são autovetores de
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear
definido por
o conteúdo aqui é sobre autovetores de operadores lineares. Um autovetor é um vetor não nulo que, quando o operador é aplicado a ele, resulta em um múltiplo escalar dele mesmo. Vamos precisar verificar, para cada vetor dado, se existe um escalar
tal que
onde
é o vetor em questão.
Passo 2
Vamos começar analisando o primeiro vetor da lista:
.
Um autovetor, por definição, não pode ser o vetor nulo. Portanto,
não é um autovetor de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar o segundo vetor:
.
Aplicando
nesse vetor:
Agora, queremos ver se existe um escalar
tal que
.
Isso daria as equações:
Resolvendo a primeira equação,
. Mas na segunda,
, e na terceira
. Como o
não é consistente,
não é um autovetor de
.
Passo 4
Vamos para o terceiro vetor:
.
Aplicando
nesse vetor:
Agora, verificamos se
.
Comparando, vemos que:
A primeira equação nos dá
. As outras duas são verdadeiras para qualquer
. Portanto,
é um autovetor de
com
.
Passo 5
Por último, vamos verificar o quarto vetor:
.
Aplicando
nesse vetor:
Queremos saber se existe um
tal que
.
Isso resulta nas equações:
Da primeira equação,
, e da segunda
. Como
não é o mesmo nas duas,
não é um autovetor de
.
Resposta
O único vetor que é autovetor de
é
.
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abaixo descritos:
b) matrizes que têm a primeira e a última linhas iguais.
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Considere o operador linear
definido por
. Determine: Os autovalores de
.
Considere o operador linear
definido por
(a) Encontre todos os autovalores de
.
Considere o operador linear
definido por
(d) Se possível, determine uma base
de
cujos elementos são autovetores de
.