Seja o operador linear definido por
(a) Considere os seguintes vetores . Quais deles são autovetores de ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por
o conteúdo aqui é sobre autovetores de operadores lineares. Um autovetor é um vetor não nulo que, quando o operador é aplicado a ele, resulta em um múltiplo escalar dele mesmo. Vamos precisar verificar, para cada vetor dado, se existe um escalar tal que
onde é o vetor em questão.

Passo 2

Vamos começar analisando o primeiro vetor da lista: .
Um autovetor, por definição, não pode ser o vetor nulo. Portanto, não é um autovetor de .

Passo 3

Agora, vamos verificar o segundo vetor: .
Aplicando nesse vetor:
Agora, queremos ver se existe um escalar tal que .
Isso daria as equações:
Resolvendo a primeira equação, . Mas na segunda, , e na terceira . Como o não é consistente, não é um autovetor de .

Passo 4

Vamos para o terceiro vetor: .
Aplicando nesse vetor:
Agora, verificamos se .
Comparando, vemos que:
A primeira equação nos dá . As outras duas são verdadeiras para qualquer . Portanto, é um autovetor de com .

Passo 5

Por último, vamos verificar o quarto vetor: .
Aplicando nesse vetor:
Queremos saber se existe um tal que .
Isso resulta nas equações:
Da primeira equação, , e da segunda . Como não é o mesmo nas duas, não é um autovetor de .

Resposta

O único vetor que é autovetor de é .

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Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de abaixo descritos:
b) matrizes que têm a primeira e a última linhas iguais.
Considere o operador linear definido por . Determine: Os autovalores de .
Considere o operador linear definido por
(a) Encontre todos os autovalores de .
Considere o operador linear definido por
(d) Se possível, determine uma base de cujos elementos são autovetores de .