Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
f) f: R^2 R^3 tal que f(x, y, z)=(x^2, 2 y, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares da álgebra linear, que basicamente dizem que uma função é linear se ela preserva as operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a função preserve a estrutura do espaço vetorial.

Passo 3

Vamos analisar a função . Para ser uma transformação linear, cada componente da função deve ser uma combinação linear dos componentes de entrada.
Observando o primeiro componente, , vemos que ele envolve o quadrado de , o que já indica que a função pode não ser linear, já que operações não lineares (como potências) geralmente quebram a linearidade. Já os outros componentes, e , são lineares porque são multiplicações por constantes ou identidade.

Passo 4

Vamos verificar formalmente as propriedades.
Propriedade da Adição:
Se tomarmos dois vetores f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2)^2,, 2(y1 + y2),, z1 + z2) e f(cu) = f(cx, cy, cz) = ((cx)^2,, 2(cy),, cz) = (c^2x^2,, 2cy,, cz) , então:
Compare isso com .
Claramente, a menos que ou sejam zero, o que não é sempre o caso. Portanto, a função não preserva a adição.
Propriedade da Multiplicação por Escalar:
Para um escalar e vetor :
Enquanto .
Aqui, geralmente, a menos que ou . Assim, a função também não preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

A função não é uma transformação linear.

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