Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
f)
tal que
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida por
. Nosso objetivo é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares da álgebra linear, que basicamente dizem que uma função é linear se ela preserva as operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a função preserve a estrutura do espaço vetorial.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Para ser uma transformação linear, cada componente da função deve ser uma combinação linear dos componentes de entrada.
Observando o primeiro componente,
, vemos que ele envolve o quadrado de
, o que já indica que a função pode não ser linear, já que operações não lineares (como potências) geralmente quebram a linearidade. Já os outros componentes,
e
, são lineares porque são multiplicações por constantes ou identidade.
Passo 4
Vamos verificar formalmente as propriedades.
Propriedade da Adição:
Se tomarmos dois vetores e
, então:
Se tomarmos dois vetores
Compare isso com
.
Claramente,
a menos que
ou
sejam zero, o que não é sempre o caso. Portanto, a função não preserva a adição.
Propriedade da Multiplicação por Escalar:
Para um escalar e vetor
:
Para um escalar
Enquanto
.
Aqui,
geralmente, a menos que
ou
. Assim, a função também não preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
A função
não é uma transformação linear.