Considere o operador linear T: R^2 R^2, dado por T(x, y)=(7 x-4 y,-4 y+y). Obtenha uma base de R^2 que diagonaliza T e escreva sua matriz em relação a esta base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear definido por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base de que diagonalize esse operador e, então, escrever a matriz de nessa nova base.
Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como valores próprios, vetores próprios e matriz diagonalizável. Basicamente, vamos encontrar os valores próprios e vetores próprios de , usar esses vetores próprios para formar nossa nova base e, finalmente, expressar nessa base.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de T(x, y) = (7x - 4y, -4y + y) = (7x - 4y, -3y) . Observando a segunda componente de A = 7 & -4 0 & -3 :
Então, a matriz de na base canônica é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores próprios de det 7 - lambda & -4 0 & -3 - lambda = (7 - lambda)(-3 - lambda) - (0)(-4) = (7 - lambda)(-3 - lambda) . Para isso, resolvemos o determinante (7 - lambda)(-3 - lambda) = 0 :
Igualando a zero:
Então, os valores próprios são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para 0 & -4 0 & -10 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos 1 0 :

[
10 & -4 0 & 0 v1 v2 = 0 0
2 5


]
Da primeira equação: .
Podemos escolher , então um vetor próprio é .
Para :
Resolvemos :

[


]
Da primeira equação: .
Escolhendo , temos , então um vetor próprio é .

Passo 5

Agora que temos os vetores próprios 1 0 e 2 5 , podemos formar a base que diagonaliza B = 1 0 , 2 5 :
Essa base é formada pelos vetores próprios de , o que garante que a matriz de nessa base será diagonal.

Resposta

A base que diagonaliza 1 0 é 2 5 . Na base D = 7 & 0 0 & -3 , a matriz de é a matriz diagonal:

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