Considere o operador linear
, dado por
. Obtenha uma base de
que diagonaliza
e escreva sua matriz em relação a esta base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear
definido por
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma base de
que diagonalize esse operador
e, então, escrever a matriz de
nessa nova base.
Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como valores próprios, vetores próprios e matriz diagonalizável. Basicamente, vamos encontrar os valores próprios e vetores próprios de
, usar esses vetores próprios para formar nossa nova base e, finalmente, expressar
nessa base.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Observando a segunda componente de
:
Então, a matriz de
na base canônica é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores próprios de
. Para isso, resolvemos o determinante
:
Igualando a zero:
Então, os valores próprios são
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Da primeira equação:
.
Podemos escolher
, então um vetor próprio é
.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Da primeira equação:
.
Escolhendo
, temos
, então um vetor próprio é
.
Passo 5
Agora que temos os vetores próprios
e
, podemos formar a base que diagonaliza
:
Essa base é formada pelos vetores próprios de
, o que garante que a matriz de
nessa base será diagonal.
Resposta
A base que diagonaliza
é
. Na base
, a matriz de
é a matriz diagonal: