Verifique se o operador linear dado é diagonalizável.
a. T: R^2 R^2, T(x, y, z, t)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z,-t).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se o operador linear T(x, y, z, t) = (3x - 4z, 3y + 5z, -z, -t) dado é diagonalizável. O operador é definido como:
Estamos trabalhando com transformações lineares no espaço . Para verificar se é diagonalizável, precisamos encontrar se existem uma base de vetores próprios para , ou seja, se a matriz associada a pode ser diagonalizada.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear T(x, y, z, t) = 3x - 4z 3y + 5z -z -t como uma matriz. Observando a transformação:
A = 3 & 0 & -4 & 0 0 & 3 & 5 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1
Podemos escrever a matriz de da seguinte forma:

Passo 3

Para verificar a diagonalização, precisamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são as soluções da equação característica:
Onde é a matriz identidade.

Passo 4

Calculando a matriz A - lambda I = 3 - lambda & 0 & -4 & 0 0 & 3 - lambda & 5 & 0 0 & 0 & -1 - lambda & 0 0 & 0 & 0 & -1 - lambda :
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(3 - lambda)(-1 - lambda)(-1 - lambda)
Como esta matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
(3 - lambda)^2 (-1 - lambda)^2 = 0
Igualando a zero:
Portanto, os autovalores são e , cada um com multiplicidade 2.

Passo 5

Agora, vamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor, ou seja, a dimensão dos espaços próprios correspondentes.
Para A - 3I = 0 & 0 & -4 & 0 0 & 0 & 5 & 0 0 & 0 & -4 & 0 0 & 0 & 0 & -4 :
Resolvemos -4z = 0 5z = 0 -4z = 0 -4t = 0 :
Espaço próprio para lambda = 3: (x, y, 0, 0) | x, y in R
O sistema resulta em:
A + I = 4 & 0 & -4 & 0 0 & 4 & 5 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Daí, 4x - 4z = 0 4y + 5z = 0 0 = 0 0 = 0 e x = z y = -54z . As variáveis livres são Espaço próprio para lambda = -1: (z, -54z, z, t) | z, t in R e , então o espaço próprio é:
çó
Portanto, a multiplicidade geométrica é 2.
Para :
Resolvemos :
O sistema resulta em:
Resolvendo, temos:
As variáveis livres são e , então o espaço próprio é:
çó
Portanto, a multiplicidade geométrica é 2.

Passo 6

Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica é igual à sua multiplicidade algébrica, podemos concluir que a matriz possui uma base completa de vetores próprios. Isso significa que é diagonalizável.

Resposta

O operador linear é diagonalizável.

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