Verifique se o operador linear dado é diagonalizável.
a. .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se o operador linear dado é diagonalizável. O operador é definido como:
Estamos trabalhando com transformações lineares no espaço . Para verificar se é diagonalizável, precisamos encontrar se existem uma base de vetores próprios para , ou seja, se a matriz associada a pode ser diagonalizada.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Observando a transformação:
Podemos escrever a matriz de da seguinte forma:
Passo 3
Para verificar a diagonalização, precisamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são as soluções da equação característica:
Daí, 4x - 4z = 0 4y + 5z = 0 0 = 0 0 = 0 e x = z y = -54z . As variáveis livres são Espaço próprio para lambda = -1: (z, -54z, z, t) | z, t in R e , então o espaço próprio é:
çó
Portanto, a multiplicidade geométrica é 2.
Para :
Resolvemos :
O sistema resulta em:
Resolvendo, temos:
As variáveis livres são e , então o espaço próprio é:
çó
Portanto, a multiplicidade geométrica é 2.
Passo 6
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica é igual à sua multiplicidade algébrica, podemos concluir que a matriz possui uma base completa de vetores próprios. Isso significa que é diagonalizável.