Seja beta=(1,1,1),(1,2,0),(3,1,0). Mostre que:
a) beta é uma base do R^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto β formado pelos vetores (1,1,1), (1,2,0) e (3,1,0) no espaço tridimensional ℝ³. A pergunta é para mostrar que β é uma base de ℝ³.
Para isso, precisamos lembrar que uma base de ℝ³ é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço ℝ³. Basicamente, isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação dos outros, e que qualquer vetor em ℝ³ pode ser construído usando combinações desses vetores de β.

Passo 2

Vamos verificar se os vetores de β são linearmente independentes. Para isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
A matriz formada pelos vetores de β é:
1 & 1 & 3 1 & 2 & 1 1 & 0 & 0

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão por menores:
det = 1 cdot 2 & 1 0 & 0 - 1 cdot 1 & 1 1 & 0 + 3 cdot 1 & 2 1 & 0
Calculando cada determinante menor:
2 & 1 0 & 0 = (2)(0) - (1)(0) = 0
1 & 1 1 & 0 = (1)(0) - (1)(1) = -1
1 & 2 1 & 0 = (1)(0) - (2)(1) = -2
Substituindo de volta:
det = 1 cdot 0 - 1 cdot (-1) + 3 cdot (-2) = 0 + 1 - 6 = -5

Passo 4

O determinante calculado foi -5, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores de β são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos três vetores linearmente independentes em ℝ³, isso também garante que eles geram todo o espaço ℝ³. Portanto, β é uma base para ℝ³.

Resposta

O conjunto β = {(1,1,1), (1,2,0), (3,1,0)} é uma base de ℝ³ porque seus vetores são linearmente independentes, já que o determinante da matriz formada por eles é -5 ≠ 0, e assim eles geram todo o espaço tridimensional.

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