Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto β formado pelos vetores (1,1,1), (1,2,0) e (3,1,0) no espaço tridimensional ℝ³. A pergunta é para mostrar que β é uma base de ℝ³.
Para isso, precisamos lembrar que uma base de ℝ³ é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço ℝ³. Basicamente, isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação dos outros, e que qualquer vetor em ℝ³ pode ser construído usando combinações desses vetores de β.
Passo 2
Vamos verificar se os vetores de β são linearmente independentes. Para isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
A matriz formada pelos vetores de β é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão por menores:
O determinante calculado foi -5, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores de β são linearmente independentes.
Passo 5
Como temos três vetores linearmente independentes em ℝ³, isso também garante que eles geram todo o espaço ℝ³. Portanto, β é uma base para ℝ³.
Resposta
O conjunto β = {(1,1,1), (1,2,0), (3,1,0)} é uma base de ℝ³ porque seus vetores são linearmente independentes, já que o determinante da matriz formada por eles é -5 ≠ 0, e assim eles geram todo o espaço tridimensional.