Sejam
e
. O conjunto
é L.I.?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três funções:
A pergunta é: esse conjunto
é linearmente independente? O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto de funções ser linearmente independente e aplicar essa definição para verificar se as três funções são ou não independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de funções (ou vetores) é dito linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
A única solução para
é
. Se existir alguma outra combinação que dá zero, então as funções são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
Vamos distribuir os coeficientes:
Passo 4
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
- Termo de
: - Termo de
: - Termo constante:
Assim, a equação fica:
Passo 5
Para que essa equação seja válida para todo
, os coeficientes de
,
e o termo constante devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matriz. Vou usar o método de eliminação:
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 4 para facilitar a eliminação de
:
Somando as duas equações:
Passo 7
Agora, substituímos
na terceira equação original:
Passo 8
Agora, temos:
Isso significa que, além da solução trivial (
), existem outras soluções onde
e
são proporcionais a
. Portanto, existem combinações não triviais que fazem a combinação linear ser zero.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.
Exercícios relacionados
Considere o operador linear
, dado por
. Obtenha uma base de
que diagonaliza
e escreva sua matriz em relação a esta base.
Seja
. Mostre que:
a) é uma base do
.
a)
Verifique se o operador linear dado é diagonalizável.
a. .
a.
No plano
considere as seguintes operações:
Verifique se com estas operações
é um espaço vetorial.