Sejam f(x)=4 x^2-3 x+9, g(x)=x^2+2 x-7 e h(x)=3 x^2+3 x-1. O conjunto f(x), g(x), h(x) é L.I.?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três funções:
f(x) = 4x^2 - 3x + 9
g(x) = x^2 + 2x - 7
h(x) = 3x^2 + 3x - 1
A pergunta é: esse conjunto é linearmente independente? O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto de funções ser linearmente independente e aplicar essa definição para verificar se as três funções são ou não independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de funções (ou vetores) é dito linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
c1 f(x) + c2 g(x) + c3 h(x) = 0
A única solução para é . Se existir alguma outra combinação que dá zero, então as funções são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
c1 (4x^2 - 3x + 9) + c2 (x^2 + 2x - 7) + c3 (3x^2 + 3x - 1) = 0
Vamos distribuir os coeficientes:
(4c1)x^2 - (3c1)x + 9c1 + c2 x^2 + 2c2 x - 7c2 + 3c3 x^2 + 3c3 x - c3 = 0

Passo 4

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
  • Termo de (4c1 + c2 + 3c3)x^2 + (-3c1 + 2c2 + 3c3)x + (9c1 - 7c2 - c3) = 0 :
  • Termo de :
  • Termo constante:
Assim, a equação fica:

Passo 5

Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matriz. Vou usar o método de eliminação:
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 4 para facilitar a eliminação de (12c1 - 12c1) + (3c2 + 8c2) + (9c3 + 12c3) = 0 :
  1. 11c2 + 21c3 = 0
  2. c2 = -2111c3
Somando as duas equações:

Passo 7

Agora, substituímos 9c1 - 7(-2111c3) - c3 = 0 na terceira equação original:
9c1 + 14711c3 - c3 = 0
9c1 + 147 - 1111c3 = 0
9c1 + 13611c3 = 0
c1 = -13699c3

Passo 8

Agora, temos:
c1 = -13699c3
c2 = -2111c3
Isso significa que, além da solução trivial ( ), existem outras soluções onde e são proporcionais a . Portanto, existem combinações não triviais que fazem a combinação linear ser zero.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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