Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes.
e. [rrr1 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar os autovalores e autovetores da seguinte matriz:
1 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 1
Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores que satisfazem a equação característica da matriz e depois encontrar os vetores correspondentes a esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, usamos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde A - lambda I = 1 - lambda & -1 & 0 -1 & 2 - lambda & -1 0 & -1 & 1 - lambda é a matriz dada, são os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = 1 - lambda & -1 & 0 -1 & 2 - lambda & -1 0 & -1 & 1 - lambda
Expandindo o determinante, temos:
(1 - lambda)[(2 - lambda)(1 - lambda) - (-1)(-1)] - (-1)[(-1)(1 - lambda) - (0)(-1)] + 0
Simplificando:
(1 - lambda)[(2 - lambda)(1 - lambda) - 1] + (1)[-(1 - lambda)]

Passo 4

Vamos continuar simplificando a expressão:
Primeiro, expandimos (2 - lambda)(1 - lambda) = 2(1) - 2lambda - lambda(1) + lambda^2 = 2 - 3lambda + lambda^2 :
(1 - lambda)[2 - 3lambda + lambda^2 - 1] - (1 - lambda)
Substituindo na expressão:
2 - 3lambda + lambda^2 - 1 = 1 - 3lambda + lambda^2
Simplificando dentro dos colchetes:
(1 - lambda)(1 - 3lambda + lambda^2) - (1 - lambda)
Então temos:

Passo 5

Agora, fatorando (1 - lambda)(1 - 3lambda + lambda^2 - 1) = (1 - lambda)(-3lambda + lambda^2) :
(1 - lambda)lambda(-3 + lambda) = -lambda(1 - lambda)(3 - lambda)
Simplificando:
-lambda(1 - lambda)(3 - lambda) = 0
Portanto, a equação característica é:

Passo 6

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação:
-lambda(1 - lambda)(3 - lambda) = 0
Igualando cada fator a zero:
Então, os autovalores são , e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada (A - lambda I)v = 0 , resolvemos o sistema:
Onde é o autovetor associado a .
Vamos fazer isso para cada autovalor.

Passo 8

Autovalor 1 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 1 :
Primeiro, calculamos 1x - y + 0z = 0 -1x + 2y - z = 0 0x - y + 1z = 0 :
1 1 1
Resolvemos o sistema:
Da terceira equação:
Da primeira equação:
Então, os autovetores são múltiplos de .

Passo 9

Autovalor 0 & -1 & 0 -1 & 1 & -1 0 & -1 & 0 :
Calculamos 0x - y + 0z = 0 - x + y - z = 0 0x - y + 0z = 0 :
-1 0 1
Resolvemos o sistema:
Da primeira e terceira equações:
Da segunda equação:
Então, os autovetores são múltiplos de .

Passo 10

Autovalor -2 & -1 & 0 -1 & -1 & -1 0 & -1 & -2 :
Calculamos -2x - y + 0z = 0 -x - y - z = 0 0x - y -2z = 0 :
1 -2 1
Resolvemos o sistema:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Igualando as duas expressões para :
Então, os autovetores são múltiplos de .

Resposta

Os autovalores da matriz são 1 1 1, -1 0 1 e 1 -2 1.
Os autovetores correspondentes são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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