Considere o operador linear
dado por
. Diagonalize o operador
usando uma base ortonormal de autovetores;
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear. A questão pede para diagonalizar o operador linear
definido por
, usando uma base ortonormal de autovetores. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de
, e depois garantir que os autovetores formem uma base ortonormal.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador
como uma matriz. Sabemos que para
, a matriz associada é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores de
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada
, resolvemos
.
Para
:
Resolvendo:
Portanto, um autovetor associado é:
Para
:
Resolvendo:
Portanto, um autovetor associado é:
Passo 5
Agora, precisamos formar uma base ortonormal com esses autovetores. Para isso, vamos normalizar cada autovetor e garantir que eles sejam ortogonais entre si.
Primeiro, calculamos os comprimentos dos autovetores:
Então, os autovetores normalizados são:
Para verificar a ortogonalidade, calculamos o produto interno:
Como o produto interno é zero, os autovetores são ortogonais.
Passo 6
Agora que temos uma base ortonormal de autovetores
, podemos diagonalizar o operador
. A matriz
formada pelos autovetores normalizados é:
A matriz diagonal
com os autovalores é:
Portanto, a diagonalização é dada por:
Resposta
A diagonalização do operador
usando uma base ortonormal de autovetores é:
Onde: