Considere o operador linear T: R^2 R^2 dado por T(x, y)=(-x+3 y, 3 x-y). Diagonalize o operador T usando uma base ortonormal de autovetores;

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear. A questão pede para diagonalizar o operador linear definido por , usando uma base ortonormal de autovetores. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de , e depois garantir que os autovetores formem uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador A = -1 & 3 3 & -1 como uma matriz. Sabemos que para , a matriz associada é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de det -1 - lambda & 3 3 & -1 - lambda = (-1 - lambda)^2 - 9 = lambda^2 + 2lambda - 8 = 0 que satisfazem a equação característica:
lambda^2 + 2lambda - 8 = 0 lambda = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm raiz362 = -2 pm 62
Onde lambda1 = 2 e lambda2 = -4 é a matriz identidade. Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada A - 2I = -3 & 3 3 & -3 , resolvemos -3v1 + 3v2 = 0 implies v1 = v2 .
Para v1 = 1 1 :
A + 4I = 3 & 3 3 & 3
Resolvendo:
3v1 + 3v2 = 0 implies v1 = -v2
Portanto, um autovetor associado é:
v2 = 1 -1
Para :
Resolvendo:
Portanto, um autovetor associado é:

Passo 5

Agora, precisamos formar uma base ortonormal com esses autovetores. Para isso, vamos normalizar cada autovetor e garantir que eles sejam ortogonais entre si.
Primeiro, calculamos os comprimentos dos autovetores:
|v1| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 |v2| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2
Então, os autovetores normalizados são:
u1 = 1raiz2 1 1 , u2 = 1raiz2 1 -1
Para verificar a ortogonalidade, calculamos o produto interno:
u1 cdot u2 = 1raiz2 cdot 1raiz2 (1 cdot 1 + 1 cdot (-1)) = 12(1 - 1) = 0
Como o produto interno é zero, os autovetores são ortogonais.

Passo 6

Agora que temos uma base ortonormal de autovetores P = 1raiz2 & 1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 , podemos diagonalizar o operador D = 2 & 0 0 & -4 . A matriz A = P D P^-1 formada pelos autovetores normalizados é:
A matriz diagonal com os autovalores é:
Portanto, a diagonalização é dada por:

Resposta

A diagonalização do operador A = P D P^-1 usando uma base ortonormal de autovetores é:
P = 1raiz2 & 1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 , D = 2 & 0 0 & -4
Onde:

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