Encontre os autovalores e autovetores da transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear
. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente ao estudo de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar esses valores e vetores para uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor
é um número tal que existe um vetor não nulo
(chamado de autovetor) que satisfaz a equação:
Ou seja, aplicar a transformação
no vetor
resulta em um múltiplo de
.
Passo 3
Agora, vamos representar a transformação linear
como uma matriz. Para
, a matriz associada é:
Essa é uma matriz diagonal, o que facilita nossa vida na hora de encontrar os autovalores.
Passo 4
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular:
A determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Então, o único autovalor é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a
. Para isso, resolvemos
:
Isso significa que qualquer vetor
satisfaz a equação, desde que
e
sejam reais. Portanto, os autovetores são todos os vetores não nulos no plano.
Resposta
O autovalor é
e os autovetores correspondentes são todos os vetores não nulos do tipo
, onde
e
são reais.