Encontre os autovalores e autovetores da transformação linear T(x, y)=(-x,-y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente ao estudo de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar esses valores e vetores para uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor T(v) = lambda v é um número tal que existe um vetor não nulo (chamado de autovetor) que satisfaz a equação:
Ou seja, aplicar a transformação no vetor resulta em um múltiplo de .

Passo 3

Agora, vamos representar a transformação linear A = -1 & 0 0 & -1 como uma matriz. Para , a matriz associada é:
Essa é uma matriz diagonal, o que facilita nossa vida na hora de encontrar os autovalores.

Passo 4

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde A - lambda I = -1 - lambda & 0 0 & -1 - lambda é a matriz identidade. Vamos calcular:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda) times (-1 - lambda) = (lambda + 1)^2
A determinante dessa matriz é:
(lambda + 1)^2 = 0 implies lambda = -1
Igualando a zero:
Então, o único autovalor é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a (A + I)v = 0 & 0 0 & 0 v1 v2 = 0 0 . Para isso, resolvemos :
Isso significa que qualquer vetor satisfaz a equação, desde que e sejam reais. Portanto, os autovetores são todos os vetores não nulos no plano.

Resposta

O autovalor é e os autovetores correspondentes são todos os vetores não nulos do tipo , onde e são reais.

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