Seja
uma base ortonormal de um espaço vetorial
. Mostre que, se
e
, então
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre espaços vetoriais e bases ortonormais. Ou seja, temos um conjunto de vetores
que formam uma base ortonormal para o espaço
. Queremos mostrar que, se a gente tem dois vetores
e
escritos como combinações lineares desses vetores da base, então o produto interno
é igual à soma dos produtos dos coeficientes correspondentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal e como funciona o produto interno nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os vetores
e
usando a base ortonormal
:
O próximo passo é calcular o produto interno
. Usando a propriedade do produto interno que permite distribuir sobre a soma, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a linearidade do produto interno, que nos permite separar a soma:
Como a base
é ortonormal, sabemos que
se
e
. Isso significa que todos os termos onde
vão se anular, sobrando apenas os termos onde
:
Resposta
Portanto, mostramos que
.