Seja beta=v1, cdots, vn uma base ortonormal de um espaço vetorial V. Mostre que, se v=c1 v1+cdots cn vn e w=d1 v1+cdots dn vn, então lang<= v, wrang<==c1 d1+cdots+cn dn;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre espaços vetoriais e bases ortonormais. Ou seja, temos um conjunto de vetores beta = v1, dots, vn que formam uma base ortonormal para o espaço V. Queremos mostrar que, se a gente tem dois vetores v e w escritos como combinações lineares desses vetores da base, então o produto interno lang<= v, w rang<= é igual à soma dos produtos dos coeficientes correspondentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal e como funciona o produto interno nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores v e w usando a base ortonormal beta:
v = c1 v1 + c2 v2 + cdots + cn vn
w = d1 v1 + d2 v2 + cdots + dn vn
O próximo passo é calcular o produto interno lang<= v, w rang<=. Usando a propriedade do produto interno que permite distribuir sobre a soma, temos:
lang<= v, w rang<= = lang<= c1 v1 + c2 v2 + cdots + cn vn , d1 v1 + d2 v2 + cdots + dn vn rang<=

Passo 3

Agora, vamos aplicar a linearidade do produto interno, que nos permite separar a soma:
lang<= v, w rang<= = c1 d1 lang<= v1, v1 rang<= + c1 d2 lang<= v1, v2 rang<= + cdots + cn dn lang<= vn, vn rang<=
Como a base beta é ortonormal, sabemos que lang<= vi, vj rang<= = 0 se i neq j e lang<= vi, vi rang<= = 1. Isso significa que todos os termos onde i neq j vão se anular, sobrando apenas os termos onde i = j:
lang<= v, w rang<= = c1 d1 + c2 d2 + cdots + cn dn

Resposta

Portanto, mostramos que lang<= v, w rang<= = c1 d1 + c2 d2 + cdots + cn dn.

Exercícios relacionados