Mostre que um operador ortogonal T: V V preserva distâncias, isto é, |T(u)-T(v)|=|u-v|, para todos u, v in V

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que um operador ortogonal preserva distâncias, ou seja, para quaisquer vetores e no espaço , a distância entre e é a mesma que entre e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares e produtos internos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador ortogonal. Um operador lang<= T(u), T(v) rang<= = lang<= u, v rang<= para todos u, v in V é ortogonal se ele preserva o produto interno, ou seja:
Isso significa que mantém ângulos e comprimentos entre vetores.

Passo 3

Agora, para mostrar que |u - v| = raizlang<= u - v, u - v rang<= preserva distâncias, vamos usar a definição de norma derivada do produto interno. A distância entre dois vetores |T(u) - T(v)| = |u - v| e é dada por:
Então, queremos provar que:

Passo 4

Vamos calcular |T(u) - T(v)| = raizlang<= T(u) - T(v), T(u) - T(v) rang<= usando a definição da norma:
lang<= T(u) - T(v), T(u) - T(v) rang<= = lang<= T(u), T(u) rang<= - 2lang<= T(u), T(v) rang<= + lang<= T(v), T(v) rang<=
Expandindo o produto interno:

Passo 5

Como lang<= T(u), T(u) rang<= - 2lang<= T(u), T(v) rang<= + lang<= T(v), T(v) rang<= = lang<= u, u rang<= - 2lang<= u, v rang<= + lang<= v, v rang<= é ortogonal, sabemos que . Então, substituindo na expressão:
Isso é exatamente igual a , que é .

Passo 6

Então, temos:
|T(u) - T(v)| = raizlang<= u - v, u - v rang<= = |u - v|
Isso mostra que preserva a distância entre quaisquer vetores e em .

Resposta

Portanto, demonstramos que um operador ortogonal preserva distâncias, ou seja, para todos .

Exercícios relacionados