Mostre que um operador ortogonal
preserva distâncias, isto é,
, para todos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que um operador ortogonal
preserva distâncias, ou seja, para quaisquer vetores
e
no espaço
, a distância entre
e
é a mesma que entre
e
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares e produtos internos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador ortogonal. Um operador
é ortogonal se ele preserva o produto interno, ou seja:
Isso significa que
mantém ângulos e comprimentos entre vetores.
Passo 3
Agora, para mostrar que
preserva distâncias, vamos usar a definição de norma derivada do produto interno. A distância entre dois vetores
e
é dada por:
Então, queremos provar que:
Passo 4
Vamos calcular
usando a definição da norma:
Expandindo o produto interno:
Passo 5
Como
é ortogonal, sabemos que
. Então, substituindo na expressão:
Isso é exatamente igual a
, que é
.
Passo 6
Então, temos:
Isso mostra que
preserva a distância entre quaisquer vetores
e
em
.
Resposta
Portanto, demonstramos que um operador ortogonal
preserva distâncias, ou seja,
para todos
.