Considere o operador linear
definido por
. Encontre os autovalores e autovetores de
em relação à Base Canônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear
que transforma um vetor
em
. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como montar a matriz desse operador e calcular os autovalores e autovetores a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear
como uma matriz. Sabemos que
, então a matriz de
na base canônica é:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores (
) de
, precisamos resolver a equação característica da matriz
. A equação característica é dada por:
onde
é a matriz identidade. Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, subtraímos
da diagonal principal de
:
Passo 5
Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos simplificar isso:
Passo 6
Agora, colocamos a equação característica igual a zero e resolvemos para
:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos um autovalor repetido:
Passo 7
Com o autovalor encontrado, vamos agora encontrar os autovetores correspondentes. Para isso, resolvemos a equação:
Substituindo
:
[
]
Simplificando:
[
]
Passo 8
Isso nos dá o sistema de equações:
Essencialmente, temos que:
Passo 9
Então, um autovetor correspondente ao autovalor
pode ser qualquer vetor onde
. Podemos escolher, por exemplo:
Resposta
Os autovalores de
são
(com multiplicidade 2) e um autovetor correspondente é
.
Exercícios relacionados
Suponha que
e
são autovalores distintos e diferentes de zero de
. Mostre que: os autovetores
e
correspondentes são LI.
Determinar os autovalores e autovetores das transformações lineares:
Sejarn
e os vetores
e
.
Verificar quais das seguintes funçōes sâo produtos internos sobre o . (Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
c) u v v
Verificar quais das seguintes funçōes sâo produtos internos sobre o
c) u v v
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do
.
b)
b)