Considere o operador linear definido por . Encontre os autovalores e autovetores de em relação à Base Canônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear que transforma um vetor em . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como montar a matriz desse operador e calcular os autovalores e autovetores a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Sabemos que , então a matriz de na base canônica é:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores ( ) de , precisamos resolver a equação característica da matriz . A equação característica é dada por:
onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, subtraímos da diagonal principal de :

Passo 5

Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos simplificar isso:

Passo 6

Agora, colocamos a equação característica igual a zero e resolvemos para :
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos um autovalor repetido:

Passo 7

Com o autovalor encontrado, vamos agora encontrar os autovetores correspondentes. Para isso, resolvemos a equação:
Substituindo :

[


]
Simplificando:

[


]

Passo 8

Isso nos dá o sistema de equações:
Essencialmente, temos que:

Passo 9

Então, um autovetor correspondente ao autovalor pode ser qualquer vetor onde . Podemos escolher, por exemplo:

Resposta

Os autovalores de são (com multiplicidade 2) e um autovetor correspondente é .

Exercícios relacionados

Suponha que e são autovalores distintos e diferentes de zero de . Mostre que: os autovetores e correspondentes são LI.
Determinar os autovalores e autovetores das transformações lineares:
Sejarn e os vetores e .
Verificar quais das seguintes funçōes sâo produtos internos sobre o . (Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
c) u v v
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do .
b)