Considere o operador linear T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(5 x-y, x+3 y). Encontre os autovalores e autovetores de T em relação à Base Canônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear que transforma um vetor em . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como montar a matriz desse operador e calcular os autovalores e autovetores a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 5 & -1 1 & 3 como uma matriz. Sabemos que , então a matriz de na base canônica é:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) de , precisamos resolver a equação característica da matriz . A equação característica é dada por:
onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, subtraímos A - lambda I = 5 - lambda & -1 1 & 3 - lambda da diagonal principal de :

Passo 5

Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (5 - lambda)(3 - lambda) - (-1)(1)
Vamos simplificar isso:
= (5 - lambda)(3 - lambda) + 1
= (15 - 5lambda - 3lambda + lambda^2) + 1
= lambda^2 - 8lambda + 16

Passo 6

Agora, colocamos a equação característica igual a zero e resolvemos para lambda^2 - 8lambda + 16 = 0 :
lambda = 8 pm raiz64 - 642
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara:
lambda = 8 pm 02 = 4
lambda = 4
Então, temos um autovalor repetido:

Passo 7

Com o autovalor encontrado, vamos agora encontrar os autovetores correspondentes. Para isso, resolvemos a equação:
(A - lambda I)v = 0
Substituindo 5 - 4 & -1 1 & 3 - 4 v1 v2 = 0 0 :

[
1 & -1 1 & -1 v1 v2 = 0 0


]
Simplificando:

[


]

Passo 8

Isso nos dá o sistema de equações:
v1 - v2 = 0 v1 - v2 = 0
Essencialmente, temos que:
v1 = v2

Passo 9

Então, um autovetor correspondente ao autovalor v = 1 1 pode ser qualquer vetor onde . Podemos escolher, por exemplo:

Resposta

Os autovalores de 1 1 são (com multiplicidade 2) e um autovetor correspondente é .

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