Sejarn
e os vetores
e
.
Verificar quais das seguintes funçōes sâo produtos internos sobre o
. (Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
c) u v v
Verificar quais das seguintes funçōes sâo produtos internos sobre o
c) u v v
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se a função dada é um produto interno no espaço
. Para isso, precisamos lembrar que um produto interno deve satisfazer certos axiomas, como linearidade, simetria e positividade. A função que vamos analisar é:
Aqui,
e
. Vamos verificar cada axioma para ver se essa função realmente pode ser considerada um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar simetria. Um produto interno deve satisfazer
. Vamos calcular
:
Comparando com a função original:
Vemos que
, pois os termos não são iguais.
Passo 3
Como não satisfazemos a simetria, já sabemos que essa função não é um produto interno. Mas para ficar claro, vamos verificar outros axiomas também.
Vamos ver a positividade. Um produto interno deve sempre satisfazer
e ser igual a zero somente quando
. Calculando:
Note que
pode ser negativo se
for negativo. Portanto,
nem sempre é maior ou igual a zero.
Passo 4
Além disso, a linearidade não é satisfeita. Um produto interno deve ser linear em cada argumento, ou seja:
No nosso caso, devido aos termos quadráticos e cúbicos, essa propriedade não se mantém.
Resposta
A função
não é um produto interno no espaço
, pois não satisfaz os axiomas de simetria, positividade e linearidade.
Exercícios relacionados
Considere o operador linear
definido por
. Encontre os autovalores e autovetores de
em relação à Base Canônica.
Suponha que
e
são autovalores distintos e diferentes de zero de
. Mostre que: os autovetores
e
correspondentes são LI.
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do
.
b)
b)
Sejam os vetores
e
.
qual o valor de
?