Sejarn e os vetores e .
Verificar quais das seguintes funçōes sâo produtos internos sobre o . (Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
c) u v v

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se a função dada é um produto interno no espaço . Para isso, precisamos lembrar que um produto interno deve satisfazer certos axiomas, como linearidade, simetria e positividade. A função que vamos analisar é:
Aqui, e . Vamos verificar cada axioma para ver se essa função realmente pode ser considerada um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar simetria. Um produto interno deve satisfazer . Vamos calcular :
Comparando com a função original:
Vemos que , pois os termos não são iguais.

Passo 3

Como não satisfazemos a simetria, já sabemos que essa função não é um produto interno. Mas para ficar claro, vamos verificar outros axiomas também.
Vamos ver a positividade. Um produto interno deve sempre satisfazer e ser igual a zero somente quando . Calculando:
Note que pode ser negativo se for negativo. Portanto, nem sempre é maior ou igual a zero.

Passo 4

Além disso, a linearidade não é satisfeita. Um produto interno deve ser linear em cada argumento, ou seja:
No nosso caso, devido aos termos quadráticos e cúbicos, essa propriedade não se mantém.

Resposta

A função não é um produto interno no espaço , pois não satisfaz os axiomas de simetria, positividade e linearidade.

Exercícios relacionados

Considere o operador linear definido por . Encontre os autovalores e autovetores de em relação à Base Canônica.
Suponha que e são autovalores distintos e diferentes de zero de . Mostre que: os autovetores e correspondentes são LI.
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do .
b)
Sejam os vetores e . qual o valor de ?