Sejarn V=R^3 e os vetores u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2).
Verificar quais das seguintes funçōes sâo produtos internos sobre o R^3. (Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
c) u v v =2 x1^2 y1^2+3 x2^2 y2^2+z1^2 z2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se a função dada é um produto interno no espaço R^3. Para isso, precisamos lembrar que um produto interno deve satisfazer certos axiomas, como linearidade, simetria e positividade. A função que vamos analisar é:
lang<= u, v rang<= = 2x1^2 y1^2 + 3x2^2 y2^2 + z1^2 z2
Aqui, u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2). Vamos verificar cada axioma para ver se essa função realmente pode ser considerada um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar simetria. Um produto interno deve satisfazer lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=. Vamos calcular lang<= v, u rang<=:
lang<= v, u rang<= = 2y2^2 x2^2 + 3y1^2 x1^2 + z2^2 z1
Comparando com a função original:
lang<= u, v rang<= = 2x1^2 y1^2 + 3x2^2 y2^2 + z1^2 z2
Vemos que lang<= u, v rang<= neq lang<= v, u rang<=, pois os termos não são iguais.

Passo 3

Como não satisfazemos a simetria, já sabemos que essa função não é um produto interno. Mas para ficar claro, vamos verificar outros axiomas também.
Vamos ver a positividade. Um produto interno deve sempre satisfazer lang<= u, u rang<= >= 0 e ser igual a zero somente quando u = 0. Calculando:
lang<= u, u rang<= = 2x1^4 + 3x2^4 + z1^3
Note que z1^3 pode ser negativo se z1 for negativo. Portanto, lang<= u, u rang<= nem sempre é maior ou igual a zero.

Passo 4

Além disso, a linearidade não é satisfeita. Um produto interno deve ser linear em cada argumento, ou seja:
lang<= au + bw, v rang<= = alang<= u, v rang<= + blang<= w, v rang<=
No nosso caso, devido aos termos quadráticos e cúbicos, essa propriedade não se mantém.

Resposta

A função lang<= u, v rang<= = 2x1^2 y1^2 + 3x2^2 y2^2 + z1^2 z2 não é um produto interno no espaço R^3, pois não satisfaz os axiomas de simetria, positividade e linearidade.

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