Determinar os autovalores e autovetores das transformações lineares: T: R^2 R^2, T(x, y)=(x+2 y,-x+4 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear , definida por . Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes, calcular determinantes e resolver equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 1 & 2 -1 & 4 na forma de matriz. A transformação pode ser escrita como:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores ( A - lambda I = 1 - lambda & 2 -1 & 4 - lambda ), precisamos resolver a equação característica, que é dada por , onde é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = (1 - lambda)(4 - lambda) - (2)(-1) = (1 - lambda)(4 - lambda) + 2 :
(1 - lambda)(4 - lambda) = 4 - lambda - 4lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 4
Expandindo:
det(A - lambda I) = lambda^2 - 5lambda + 4 + 2 = lambda^2 - 5lambda + 6
Então:
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0
Agora, igualamos a zero para achar os autovalores:
lambda = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12
Resolvendo a equação quadrática:
lambda1 = 3 e lambda2 = 2
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada 1 - 3 & 2 -1 & 4 - 3 v1 v2 = -2 & 2 -1 & 1 v1 v2 = 0 0 .
Para -2v1 + 2v2 = 0 -v1 + v2 = 0 :
Substituímos na equação v1 = 1 1 :

[
1 - 2 & 2 -1 & 4 - 2 v1 v2 = -1 & 2 -1 & 2 v1 v2 = 0 0
- v1 + 2v2 = 0 - v1 + 2v2 = 0

v2 = 2 1


]
Isso resulta no sistema:
Simplificando, temos . Assim, um autovetor correspondente a é:
Para :
Substituímos na equação :

[



]
Isso resulta no sistema:
Simplificando, temos . Assim, um autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores da transformação são v1 = 1 1 para lambda1 = 3 e v2 = 2 1 para lambda2 = 2 . Os autovetores correspondentes são:

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