Determinar os autovalores e autovetores das transformações lineares:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear , definida por . Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes, calcular determinantes e resolver equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear na forma de matriz. A transformação pode ser escrita como:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores ( ), precisamos resolver a equação característica, que é dada por , onde é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de :
Expandindo:
Então:
Agora, igualamos a zero para achar os autovalores:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Substituímos na equação :

[



]
Isso resulta no sistema:
Simplificando, temos . Assim, um autovetor correspondente a é:
Para :
Substituímos na equação :

[



]
Isso resulta no sistema:
Simplificando, temos . Assim, um autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores da transformação são e . Os autovetores correspondentes são:

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