Determinar os autovalores e autovetores das transformações lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear
, definida por
. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes, calcular determinantes e resolver equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear
na forma de matriz. A transformação
pode ser escrita como:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores (
), precisamos resolver a equação característica, que é dada por
, onde
é a matriz identidade.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de
:
Expandindo:
Então:
Agora, igualamos a zero para achar os autovalores:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Substituímos na equação
:
[
]
Isso resulta no sistema:
Simplificando, temos
. Assim, um autovetor correspondente a
é:
Para
:
Substituímos na equação
:
[
]
Isso resulta no sistema:
Simplificando, temos
. Assim, um autovetor correspondente a
é:
Resposta
Os autovalores da transformação são
e
. Os autovetores correspondentes são:
Exercícios relacionados
determine se
e
são vetores ortogonais:
Sejam
o conjunto dos pares ordenados de números reais. Definamos:
Com essas operações definidas sobre
, perguntamos se este conjunto é um espaço vetorial sobre
.
Suponha que
e
são autovalores distintos e diferentes de zero de
. Mostre que: os autovetores
e
correspondentes são LI.
Considere o operador linear
definido por
. Encontre os autovalores e autovetores de
em relação à Base Canônica.