Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do
.
b)
b)
Passo 1
Vamos verificar se o conjunto de vetores
forma uma base para o
. Para isso, precisamos entender o que é uma base: um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que conseguem gerar todo o espaço
. Basicamente, vamos ver se esses dois vetores não estão na mesma direção e se conseguem “preencher” o espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles for múltiplo do outro. Isso significa que não conseguimos escrever um vetor como uma constante multiplicada pelo outro.
Passo 3
Vamos analisar os vetores
e
. Observamos que o segundo vetor não é um múltiplo exato do primeiro. Por exemplo, para o primeiro componente:
Isso mostra que os vetores não são múltiplos um do outro, indicando que são linearmente independentes.
Passo 4
Outra forma de confirmar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. A matriz é:
O determinante é calculado por:
Como o determinante é zero, isso indica que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 5
Apesar de inicialmente pensarmos que os vetores são independentes, o cálculo do determinante mostrou que eles são dependentes. Isso significa que um vetor pode ser escrito como um múltiplo do outro, então eles não conseguem “preencher” todo o espaço
.
Resposta
O conjunto
não forma uma base do
, pois os vetores são linearmente dependentes.
Exercícios relacionados
Sejarn
e os vetores
e
.
Verificar quais das seguintes funçōes sâo produtos internos sobre o . (Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
c) u v v
Verificar quais das seguintes funçōes sâo produtos internos sobre o
c) u v v
Considere o operador linear
definido por
. Encontre os autovalores e autovetores de
em relação à Base Canônica.
Sejam os vetores
e
.
qual o valor de
?
Sejam
e
subespaços vetoriais de um espaço vetorial
. Mostre que
é subespaço vetorial de
se, e somente se,
ou
.