Suponha que e são autovalores distintos e diferentes de zero de . Mostre que: os autovetores e correspondentes são LI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma transformação linear com dois autovalores distintos, e , que são diferentes de zero. A matéria que vamos usar aqui é a de autovalores e autovetores e independência linear. Precisamos mostrar que os autovetores correspondentes a esses autovalores, e , são linearmente independentes (LI).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor e um autovetor. Para uma transformação linear , um escalar é um autovalor se existe um vetor não nulo tal que . Esse é o autovetor correspondente.

Passo 3

Como e são distintos, queremos ver o que isso implica para os vetores e . A ideia é que se os autovalores são diferentes, os autovetores associados não podem ser combinações lineares um do outro, ou seja, devem ser LI.

Passo 4

Vamos supor, para chegar a uma contradição, que e sejam linearmente dependentes. Isso significaria que existe um escalar tal que .

Passo 5

Aplicando a transformação em ambos os lados da equação , temos:
Mas também sabemos que .

Passo 6

Então, igualando as duas expressões para :
Podemos dividir ambos os lados por (já que e ):

Passo 7

Isso é uma contradição, porque o enunciado nos garante que e são distintos. Portanto, nossa suposição de que e são linearmente dependentes está errada.

Resposta

Os autovetores e correspondentes a autovalores distintos e diferentes de zero são linearmente independentes.

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Determinar os autovalores e autovetores das transformações lineares:
determine se e são vetores ortogonais:
Considere o operador linear definido por . Encontre os autovalores e autovetores de em relação à Base Canônica.
Sejarn e os vetores e .
Verificar quais das seguintes funçōes sâo produtos internos sobre o . (Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
c) u v v