Suponha que
e
são autovalores distintos e diferentes de zero de
. Mostre que: os autovetores
e
correspondentes são LI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma transformação linear
com dois autovalores distintos,
e
, que são diferentes de zero. A matéria que vamos usar aqui é a de autovalores e autovetores e independência linear. Precisamos mostrar que os autovetores correspondentes a esses autovalores,
e
, são linearmente independentes (LI).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor e um autovetor. Para uma transformação linear
, um escalar
é um autovalor se existe um vetor não nulo
tal que
. Esse
é o autovetor correspondente.
Passo 3
Como
e
são distintos, queremos ver o que isso implica para os vetores
e
. A ideia é que se os autovalores são diferentes, os autovetores associados não podem ser combinações lineares um do outro, ou seja, devem ser LI.
Passo 4
Vamos supor, para chegar a uma contradição, que
e
sejam linearmente dependentes. Isso significaria que existe um escalar
tal que
.
Passo 5
Aplicando a transformação
em ambos os lados da equação
, temos:
Mas também sabemos que
.
Passo 6
Então, igualando as duas expressões para
:
Podemos dividir ambos os lados por
(já que
e
):
Passo 7
Isso é uma contradição, porque o enunciado nos garante que
e
são distintos. Portanto, nossa suposição de que
e
são linearmente dependentes está errada.
Resposta
Os autovetores
e
correspondentes a autovalores distintos e diferentes de zero são linearmente independentes.
Exercícios relacionados
Determinar os autovalores e autovetores das transformações lineares:
determine se
e
são vetores ortogonais:
Considere o operador linear
definido por
. Encontre os autovalores e autovetores de
em relação à Base Canônica.
Sejarn
e os vetores
e
.
Verificar quais das seguintes funçōes sâo produtos internos sobre o . (Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
c) u v v
Verificar quais das seguintes funçōes sâo produtos internos sobre o
c) u v v