Suponha que lambda1 e lambda2 são autovalores distintos e diferentes de zero de T: R^2 R^2. Mostre que: os autovetores v1 e v2 correspondentes são LI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma transformação linear com dois autovalores distintos, e , que são diferentes de zero. A matéria que vamos usar aqui é a de autovalores e autovetores e independência linear. Precisamos mostrar que os autovetores correspondentes a esses autovalores, e , são linearmente independentes (LI).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor e um autovetor. Para uma transformação linear , um escalar é um autovalor se existe um vetor não nulo tal que . Esse é o autovetor correspondente.

Passo 3

Como e são distintos, queremos ver o que isso implica para os vetores e . A ideia é que se os autovalores são diferentes, os autovetores associados não podem ser combinações lineares um do outro, ou seja, devem ser LI.

Passo 4

Vamos supor, para chegar a uma contradição, que e sejam linearmente dependentes. Isso significaria que existe um escalar tal que .

Passo 5

Aplicando a transformação T(v2) = T(c v1) = c T(v1) = c lambda1 v1 em ambos os lados da equação , temos:
Mas também sabemos que .

Passo 6

Então, igualando as duas expressões para c lambda1 v1 = lambda2 c v1 :
lambda1 = lambda2
Podemos dividir ambos os lados por (já que e ):

Passo 7

Isso é uma contradição, porque o enunciado nos garante que e são distintos. Portanto, nossa suposição de que e são linearmente dependentes está errada.

Resposta

Os autovetores e correspondentes a autovalores distintos e diferentes de zero são linearmente independentes.

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