Considere o operador linear definido por . Determine:
(a) O polinômio característico de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por . O objetivo é determinar o polinômio característico de .
Conteúdo da matéria: Operadores lineares e polinômios característicos.
O que vamos precisar:
  • Representar o operador linear como uma matriz.
  • Calcular o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e é um escalar.
  • Formular o polinômio característico a partir desse determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Para isso, aplicamos aos vetores da base padrão de , que são e .
Assim, a matriz de na base padrão é:

Passo 3

Agora, vamos calcular , onde é a matriz identidade de ordem 2 e é um escalar.

[
T - \lambda I =


]

Passo 4

O próximo passo é calcular o determinante da matriz . O determinante de uma matriz é dado por .
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 5

O polinômio característico de um operador linear é precisamente o determinante de . Portanto, o polinômio característico de é:

Resposta

O polinômio característico de é .

Exercícios relacionados

Verifique se:
(d) formam uma base de .
Seja o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por e , respectivamente. Verifique se é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.
Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de :
a)
Considere o operador linear definido por
Determine: Os autovalores de .