Considere o operador linear
definido por
. Determine:
(a) O polinômio característico de
.
(a) O polinômio característico de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear
definido por
. O objetivo é determinar o polinômio característico de
.
Conteúdo da matéria: Operadores lineares e polinômios característicos.
O que vamos precisar:
- Representar o operador linear
como uma matriz. - Calcular o determinante da matriz
, onde é a matriz identidade e é um escalar. - Formular o polinômio característico a partir desse determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear
como uma matriz. Para isso, aplicamos
aos vetores da base padrão de
, que são
e
.
Assim, a matriz de
na base padrão é:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, onde
é a matriz identidade de ordem 2 e
é um escalar.
[
T - \lambda I =
]
Passo 4
O próximo passo é calcular o determinante da matriz
. O determinante de uma matriz
é dado por
.
Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 5
O polinômio característico de um operador linear é precisamente o determinante de
. Portanto, o polinômio característico de
é:
Resposta
O polinômio característico de
é
.
Exercícios relacionados
Verifique se:
(d) formam uma base de
.
(d)
Seja
o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por
e
, respectivamente. Verifique se
é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.
Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de
:
a)
a)
Considere o operador linear
definido por
Determine: Os autovalores de
.