Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se os polinômios , e formam uma base para o espaço . é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base: basicamente, precisamos ver se esses polinômios são linearmente independentes e se geram todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, nesse caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Então, vamos assumir que existe uma combinação desses polinômios que resulta no polinômio zero:
Nosso objetivo é mostrar que isso só acontece quando .
Passo 3
Vamos expandir essa equação:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que dois polinômios sejam iguais, os coeficientes de cada potência de devem ser iguais. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Da primeira equação, já sabemos que .
Substituindo na segunda equação: , ou seja, .
Substituindo e na terceira equação: , então .
Passo 5
Como a única solução para o sistema foi , isso significa que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 6
Além disso, como temos três polinômios em um espaço que também tem dimensão 3 ( tem dimensão 3 porque podemos representar qualquer polinômio de grau ≤2 como uma combinação de , e ), os polinômios que são linearmente independentes geram todo o espaço.