Verifique se:
(d) 1+x+x^2, x+x^2, x^2 formam uma base de P2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se os polinômios , e formam uma base para o espaço . é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base: basicamente, precisamos ver se esses polinômios são linearmente independentes e se geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, nesse caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Então, vamos assumir que existe uma combinação desses polinômios que resulta no polinômio zero:
a(1 + x + x^2) + b(x + x^2) + c(x^2) = 0
Nosso objetivo é mostrar que isso só acontece quando .

Passo 3

Vamos expandir essa equação:
a cdot 1 + a cdot x + a cdot x^2 + b cdot x + b cdot x^2 + c cdot x^2 = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a) + (a + b)x + (a + b + c)x^2 = 0
Para que dois polinômios sejam iguais, os coeficientes de cada potência de a = 0 a + b = 0 a + b + c = 0 devem ser iguais. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação, já sabemos que .
  2. Substituindo na segunda equação: , ou seja, .
  3. Substituindo e na terceira equação: , então .

Passo 5

Como a única solução para o sistema foi , isso significa que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 6

Além disso, como temos três polinômios em um espaço que também tem dimensão 3 ( tem dimensão 3 porque podemos representar qualquer polinômio de grau ≤2 como uma combinação de , e ), os polinômios que são linearmente independentes geram todo o espaço.

Resposta

Sim, os polinômios , e formam uma base de .

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