Verifique se:
(d) formam uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se os polinômios , e formam uma base para o espaço . é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base: basicamente, precisamos ver se esses polinômios são linearmente independentes e se geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, nesse caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Então, vamos assumir que existe uma combinação desses polinômios que resulta no polinômio zero:
Nosso objetivo é mostrar que isso só acontece quando .

Passo 3

Vamos expandir essa equação:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que dois polinômios sejam iguais, os coeficientes de cada potência de devem ser iguais. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação, já sabemos que .
  2. Substituindo na segunda equação: , ou seja, .
  3. Substituindo e na terceira equação: , então .

Passo 5

Como a única solução para o sistema foi , isso significa que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 6

Além disso, como temos três polinômios em um espaço que também tem dimensão 3 ( tem dimensão 3 porque podemos representar qualquer polinômio de grau ≤2 como uma combinação de , e ), os polinômios que são linearmente independentes geram todo o espaço.

Resposta

Sim, os polinômios , e formam uma base de .

Exercícios relacionados

Seja o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por e , respectivamente. Verifique se é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.
Quais dos seguintes vetores são combinação linear de e ?
b)
Considere o operador linear definido por . Determine:
(a) O polinômio característico de .
Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de :
a)