Seja o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por e , respectivamente. Verifique se é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se o conjunto dos números reais, , forma um espaço vetorial usando umas operações especiais de soma e multiplicação por escalar. A matéria aqui é Álgebra Linear, e pra resolver isso, vamos precisar revisar os axiomas de um espaço vetorial e ver se eles se aplicam a essas operações que foram definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem quais são essas operações que foram definidas:
  • Soma ( ): Para dois números reais e , a soma deles é o máximo entre eles, ou seja:
  • Multiplicação por escalar ( ): Para um número real (o escalar) e um número real , a multiplicação é a multiplicação comum:
Essas operações são diferentes das operações padrão de soma e multiplicação em , então precisamos ver se elas seguem as regras que um espaço vetorial exige.

Passo 3

Agora, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Para que com essas operações seja um espaço vetorial, todas as seguintes propriedades precisam ser verdadeiras:
  1. Fechamento sob a soma: A soma de dois vetores está no conjunto.
  2. Comutatividade da soma: .
  3. Associatividade da soma: .
  4. Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero tal que .
  5. Existência de inversos aditivos: Para todo , existe tal que .
  6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma vetorial: .
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: .
  8. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares: .
  9. Existência do elemento neutro para a multiplicação por escalar: .
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 4

1. Fechamento sob a soma: Se e são reais, então também é real. Então, a soma está fechada em .
2. Comutatividade da soma: , então a soma é comutativa.
3. Associatividade da soma: . Como o máximo é associativo, esse axioma também é válido.

Passo 5

4. Existência do elemento neutro: Precisamos de um número real tal que para todo . Mas será se , mas será se . Para que seja neutro, deveria funcionar para todo , mas claramente não funciona para . Além disso, o único elemento que funcionaria seria , que não está em .
Assim, não existe elemento neutro na soma definida, o que já quebra um dos axiomas essenciais de um espaço vetorial.

Passo 6

Como já encontramos que o axioma da existência do elemento neutro não é satisfeito, já podemos concluir que com essas operações não forma um espaço vetorial. Não precisamos verificar os outros axiomas, pois basta que um falhe para que todo o conjunto não seja um espaço vetorial.

Resposta

Não, com as operações definidas de soma e multiplicação por escalar não forma um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Quais dos seguintes vetores são combinação linear de e ?
b)
Determine quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
d) ou
Verifique se:
(d) formam uma base de .
Considere o operador linear definido por . Determine:
(a) O polinômio característico de .