Seja
o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por
e
, respectivamente. Verifique se
é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se o conjunto dos números reais,
, forma um espaço vetorial usando umas operações especiais de soma e multiplicação por escalar. A matéria aqui é Álgebra Linear, e pra resolver isso, vamos precisar revisar os axiomas de um espaço vetorial e ver se eles se aplicam a essas operações que foram definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem quais são essas operações que foram definidas:
-
Soma (
): Para dois números reais e , a soma deles é o máximo entre eles, ou seja: -
Multiplicação por escalar (
): Para um número real (o escalar) e um número real , a multiplicação é a multiplicação comum:
Essas operações são diferentes das operações padrão de soma e multiplicação em
, então precisamos ver se elas seguem as regras que um espaço vetorial exige.
Passo 3
Agora, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Para que
com essas operações seja um espaço vetorial, todas as seguintes propriedades precisam ser verdadeiras:
- Fechamento sob a soma: A soma de dois vetores está no conjunto.
- Comutatividade da soma:
. - Associatividade da soma:
. - Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero
tal que . - Existência de inversos aditivos: Para todo
, existe tal que . - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma vetorial:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
. - Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
. - Existência do elemento neutro para a multiplicação por escalar:
.
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 4
1. Fechamento sob a soma: Se
e
são reais, então
também é real. Então, a soma está fechada em
.
2. Comutatividade da soma:
, então a soma é comutativa.
3. Associatividade da soma:
. Como o máximo é associativo, esse axioma também é válido.
Passo 5
4. Existência do elemento neutro: Precisamos de um número real
tal que
para todo
. Mas
será
se
, mas será
se
. Para que seja neutro, deveria funcionar para todo
, mas claramente não funciona para
. Além disso, o único elemento que funcionaria seria
, que não está em
.
Assim, não existe elemento neutro na soma definida, o que já quebra um dos axiomas essenciais de um espaço vetorial.
Passo 6
Como já encontramos que o axioma da existência do elemento neutro não é satisfeito, já podemos concluir que
com essas operações não forma um espaço vetorial. Não precisamos verificar os outros axiomas, pois basta que um falhe para que todo o conjunto não seja um espaço vetorial.
Resposta
Não,
com as operações definidas de soma e multiplicação por escalar não forma um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Quais dos seguintes vetores são combinação linear de
e
?
b)
b)
Determine quais dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
d) ou
d)
Verifique se:
(d) formam uma base de
.
(d)
Considere o operador linear
definido por
. Determine:
(a) O polinômio característico de .
(a) O polinômio característico de