Considere o operador linear T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(4 x+2 y, 3 x-y). Encontre os autovalores e autovetores de T em relação à Base Canônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador linear definido por na Base Canônica. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos matrizes, transformações lineares, e essas coisas de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar usar a definição de autovalores e autovetores e calcular o determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor é um número tal que, quando multiplicamos um vetor por esse número e depois aplicamos a transformação , o resultado é o mesmo que aplicar primeiro e depois multiplicar pelo número. Formalmente, . O vetor é o autovetor correspondente a .

Passo 3

Vamos representar o operador A = 4 & 2 3 & -1 como uma matriz na Base Canônica. A matriz correspondente a é:
Isso porque .

Passo 4

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica que vem de A - lambda I = 4 - lambda & 2 3 & -1 - lambda , onde det(A - lambda I) = (4 - lambda)(-1 - lambda) - (2)(3) é a matriz identidade. Vamos montar essa equação:
O determinante dessa matriz será:

Passo 5

Vamos calcular esse determinante:
(4 - lambda)(-1 - lambda) - 6 = ( -4 -4lambda + lambda + lambda^2 ) - 6 = lambda^2 -3lambda -10
Então, a equação característica é:
lambda^2 - 3lambda - 10 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores lambda = 3 pm raiz9 + 402 = 3 pm raiz492 = 3 pm 72 . Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda1 = 3 + 72 = 5 e lambda2 = 3 - 72 = -2
Portanto, temos dois autovalores:

Passo 7

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada , resolvemos .

Passo 8

Para A - 5I = 4 - 5 & 2 3 & -1 - 5 = -1 & 2 3 & -6 :
-1 & 2 3 & -6
Resolvendo v1 v2 , temos:
0 0
Podemos escolher -1 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 Rightarrow v1 = 2v2 , então 2 1 . Assim, um autovetor para é .

Passo 9

Para A + 2I = 4 + 2 & 2 3 & -1 + 2 = 6 & 2 3 & 1 :
6 & 2 3 & 1
Resolvendo v1 v2 , temos:
0 0
Podemos escolher 6 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 Rightarrow 3v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = -3v1 , então 1 -3 . Assim, um autovetor para é .

Resposta

Os autovalores de 2 1 são 1 -3 com o autovetor e com o autovetor .

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