Considere o operador linear definido por . Encontre os autovalores e autovetores de em relação à Base Canônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador linear definido por na Base Canônica. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos matrizes, transformações lineares, e essas coisas de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar usar a definição de autovalores e autovetores e calcular o determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor é um número tal que, quando multiplicamos um vetor por esse número e depois aplicamos a transformação , o resultado é o mesmo que aplicar primeiro e depois multiplicar pelo número. Formalmente, . O vetor é o autovetor correspondente a .

Passo 3

Vamos representar o operador como uma matriz na Base Canônica. A matriz correspondente a é:
Isso porque .

Passo 4

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica que vem de , onde é a matriz identidade. Vamos montar essa equação:
O determinante dessa matriz será:

Passo 5

Vamos calcular esse determinante:
Então, a equação característica é:

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores . Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos dois autovalores:

Passo 7

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada , resolvemos .

Passo 8

Para :
Resolvendo , temos:
Podemos escolher , então . Assim, um autovetor para é .

Passo 9

Para :
Resolvendo , temos:
Podemos escolher , então . Assim, um autovetor para é .

Resposta

Os autovalores de são com o autovetor e com o autovetor .

Exercícios relacionados

Seja o operador linear de definido por . Encontre a representação matricial de em relação à Base .
Dado o operador linear definido por . Encontre , onde é a Base Canônica de e .
Suponha que tem o produto interno:
.
Use o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar .