Considere o operador linear
definido por
. Encontre os autovalores e autovetores de
em relação à Base Canônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador linear
definido por
na Base Canônica. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos matrizes, transformações lineares, e essas coisas de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar usar a definição de autovalores e autovetores e calcular o determinante de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor
é um número tal que, quando multiplicamos um vetor por esse número e depois aplicamos a transformação
, o resultado é o mesmo que aplicar
primeiro e depois multiplicar pelo número. Formalmente,
. O vetor
é o autovetor correspondente a
.
Passo 3
Vamos representar o operador
como uma matriz na Base Canônica. A matriz correspondente a
é:
Isso porque
.
Passo 4
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica que vem de
, onde
é a matriz identidade. Vamos montar essa equação:
O determinante dessa matriz será:
Passo 5
Vamos calcular esse determinante:
Então, a equação característica é:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos dois autovalores:
Passo 7
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada
, resolvemos
.
Passo 8
Para
:
Resolvendo
, temos:
Podemos escolher
, então
. Assim, um autovetor para
é
.
Passo 9
Para
:
Resolvendo
, temos:
Podemos escolher
, então
. Assim, um autovetor para
é
.
Resposta
Os autovalores de
são
com o autovetor
e
com o autovetor
.
Exercícios relacionados
Seja
o operador linear de
definido por
. Encontre a representação matricial de
em relação à Base
.
Dado o operador linear
definido por
. Encontre
, onde
é a Base Canônica de
e
.
Suponha que
tem o produto interno:
.
Use o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar .
Use o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar