Dado o operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x-y, y-x, x-z). Encontre [T]beta^alpha, onde alpha é a Base Canônica de R^3 e beta=(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve álgebra linear, especificamente a representação de operadores lineares em bases diferentes. Precisamos encontrar a matriz que representa o operador em relação à base canônica e à base . Para isso, vamos precisar entender como transformar vetores de uma base para outra e aplicar o operador nos vetores da base .

Passo 2

Primeiro, lembre-se de que uma base para é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes. A base canônica é composta pelos vetores , e . A base dada no problema é .

Passo 3

Para encontrar a matriz , precisamos aplicar o operador a cada um dos vetores da base e expressar os resultados em termos da base canônica . A matriz será formada por essas imagens.

Passo 4

Vamos aplicar T(b1) = T(1, 0, 1) = (1 - 0, 0 - 1, 1 - 1) = (1, -1, 0) ao primeiro vetor da base :
Esse resultado já está na base canônica .

Passo 5

Agora, aplicamos T(b2) = T(0, 1, 1) = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 1) = (-1, 1, -1) ao segundo vetor da base :
Também está na base canônica .

Passo 6

Por último, aplicamos T(b3) = T(1, 1, 0) = (1 - 1, 1 - 1, 1 - 0) = (0, 0, 1) ao terceiro vetor da base :
Esse resultado está na base canônica .

Passo 7

Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz [T]beta^alpha = 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 :
Essa é a matriz que representa o operador de para .

Resposta

A matriz 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 é:

Exercícios relacionados