Dado o operador linear definido por . Encontre , onde é a Base Canônica de e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve álgebra linear, especificamente a representação de operadores lineares em bases diferentes. Precisamos encontrar a matriz que representa o operador em relação à base canônica e à base . Para isso, vamos precisar entender como transformar vetores de uma base para outra e aplicar o operador nos vetores da base .
Passo 2
Primeiro, lembre-se de que uma base para é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes. A base canônica é composta pelos vetores , e . A base dada no problema é .
Passo 3
Para encontrar a matriz , precisamos aplicar o operador a cada um dos vetores da base e expressar os resultados em termos da base canônica . A matriz será formada por essas imagens.
Passo 4
Vamos aplicar ao primeiro vetor da base :
Esse resultado já está na base canônica .
Passo 5
Agora, aplicamos ao segundo vetor da base :
Também está na base canônica .
Passo 6
Por último, aplicamos ao terceiro vetor da base :
Esse resultado está na base canônica .
Passo 7
Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz :
Essa é a matriz que representa o operador de para .