Dado o operador linear definido por . Encontre , onde é a Base Canônica de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve álgebra linear, especificamente a representação de operadores lineares em bases diferentes. Precisamos encontrar a matriz que representa o operador em relação à base canônica e à base . Para isso, vamos precisar entender como transformar vetores de uma base para outra e aplicar o operador nos vetores da base .

Passo 2

Primeiro, lembre-se de que uma base para é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes. A base canônica é composta pelos vetores , e . A base dada no problema é .

Passo 3

Para encontrar a matriz , precisamos aplicar o operador a cada um dos vetores da base e expressar os resultados em termos da base canônica . A matriz será formada por essas imagens.

Passo 4

Vamos aplicar ao primeiro vetor da base :
Esse resultado já está na base canônica .

Passo 5

Agora, aplicamos ao segundo vetor da base :
Também está na base canônica .

Passo 6

Por último, aplicamos ao terceiro vetor da base :
Esse resultado está na base canônica .

Passo 7

Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz :
Essa é a matriz que representa o operador de para .

Resposta

A matriz é:

Exercícios relacionados

Considere o operador linear definido por . Encontre os autovalores e autovetores de em relação à Base Canônica.
Seja o operador linear de definido por . Encontre a representação matricial de em relação à Base .
Suponha que tem o produto interno:
.
Use o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar .
Sejam os vetores e . Verifique que define um produto interno no .