Seja um espaço vetorial sobre de dimensão . Considere também como um espaço vetorial sobre . Seja então uma transformação linear.
a) Mostre que ou é igual a ou a .
b) Se é outra transformação linear e são elementos não nulos, linearmente dependentes em , então mostre que .

Passo 1

Vamos lá! Temos um espaço vetorial sobre o campo com dimensão . Além disso, também é considerado um espaço vetorial sobre si mesmo. Temos uma transformação linear e precisamos resolver duas partes:
a) Mostrar que a dimensão do núcleo de , ou seja, , é igual a ou .
b) Se é outra transformação linear não nula e dependente linearmente de , mostrar que .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como transformação linear, núcleo (ou kernel), dimensão de subespaços e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é o núcleo de uma transformação linear. Para uma transformação linear , o núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o elemento zero em . Em outras palavras:
O núcleo é um subespaço de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teorema do posto e da nulidade (Rank-Nullity Theorem). Esse teorema nos diz que para uma transformação linear , onde tem dimensão , a soma da dimensão do núcleo de e a dimensão da imagem de (também chamada de posto de ) é igual a :
No nosso caso, , que é um espaço vetorial de dimensão 1. Portanto, a dimensão da imagem de pode ser no máximo 1.

Passo 4

Vamos considerar as possibilidades para :
  1. Se é a transformação trivial, ou seja, para todo , então e .
  2. Se não é trivial, então existe pelo menos um vetor em tal que , o que implica que e .

Passo 5

Aplicando o teorema do posto e da nulidade:
  1. Se , então:
  1. Se , então:
Portanto, é igual a ou .

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que se é outra transformação linear não nula e dependente linearmente de em , então .
Primeiro, ser dependente linear significa que existe um escalar em tal que .

Passo 7

Como , para qualquer vetor :
Então,
  1. Se , então , o que implica que . Portanto, .
  2. Se , então , o que implica que . Como (pois é não nula), devemos ter . Portanto, .

Passo 8

Assim, mostramos que:
O que implica que:

Resposta

a) A dimensão do núcleo de é igual a ou .
b) Se é uma transformação linear não nula dependente de , então .

Exercícios relacionados

Verifique se as funções abaixo de em são lineares. Em caso afirmativo, determine suas matrizes. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ;
h) ;
Verifique se as funções abaixo de em são lineares. Em caso afirmativo, determine suas matrizes. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
Dentre as transformações 𝕜𝕜 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j) 𝕜𝕜, definida por
k) 𝕜𝕜, definida por
Considere o operador linear definido por . Quais dos seguintes vetores pertencem a ?
a)
b)
c)