Seja V um espaço vetorial sobre F de dimensão n. Considere F também como um espaço vetorial sobre F. Seja então F: V F uma transformação linear.
a) Mostre que dim(ker(F)) ou é igual a n ou a n-1.
b) Se G: V F é outra transformação linear e F, G são elementos não nulos, linearmente dependentes em L(V, F), então mostre que ker(F)=ker(G).

Passo 1

Vamos lá! Temos um espaço vetorial sobre o campo com dimensão . Além disso, também é considerado um espaço vetorial sobre si mesmo. Temos uma transformação linear e precisamos resolver duas partes:
a) Mostrar que a dimensão do núcleo de , ou seja, , é igual a ou .
b) Se é outra transformação linear não nula e dependente linearmente de , mostrar que .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como transformação linear, núcleo (ou kernel), dimensão de subespaços e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é o núcleo de uma transformação linear. Para uma transformação linear ker(F) = v in V mid F(v) = 0 , o núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o elemento zero em . Em outras palavras:
O núcleo é um subespaço de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teorema do posto e da nulidade (Rank-Nullity Theorem). Esse teorema nos diz que para uma transformação linear dim(ker(F)) + dim(Im(F)) = n , onde tem dimensão , a soma da dimensão do núcleo de e a dimensão da imagem de (também chamada de posto de ) é igual a :
No nosso caso, , que é um espaço vetorial de dimensão 1. Portanto, a dimensão da imagem de pode ser no máximo 1.

Passo 4

Vamos considerar as possibilidades para :
  1. Se é a transformação trivial, ou seja, para todo , então e .
  2. Se não é trivial, então existe pelo menos um vetor em tal que , o que implica que e .

Passo 5

Aplicando o teorema do posto e da nulidade:
  1. Se dim(ker(F)) + 0 = n implies dim(ker(F)) = n , então:
dim(ker(F)) + 1 = n implies dim(ker(F)) = n - 1
  1. Se , então:
Portanto, é igual a ou .

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que se é outra transformação linear não nula e dependente linearmente de em , então .
Primeiro, ser dependente linear significa que existe um escalar em tal que .

Passo 7

Como G(v) = lambda F(v) , para qualquer vetor :
Então,
  1. Se , então , o que implica que . Portanto, .
  2. Se , então , o que implica que . Como (pois é não nula), devemos ter . Portanto, .

Passo 8

Assim, mostramos que:
ker(F) subseteq ker(G) e ker(G) subseteq ker(F)
O que implica que:
ker(F) = ker(G)

Resposta

a) A dimensão do núcleo de é igual a ou .
b) Se é uma transformação linear não nula dependente de , então .

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