Seja
um espaço vetorial sobre
de dimensão
. Considere
também como um espaço vetorial sobre
. Seja então
uma transformação linear.
a) Mostre que
ou é igual a
ou a
.
b) Se
é outra transformação linear e
são elementos não nulos, linearmente dependentes em
, então mostre que
.
a) Mostre que
b) Se
Passo 1
Vamos lá! Temos um espaço vetorial
sobre o campo
com dimensão
. Além disso,
também é considerado um espaço vetorial sobre si mesmo. Temos uma transformação linear
e precisamos resolver duas partes:
a) Mostrar que a dimensão do núcleo de , ou seja,
, é igual a
ou
.
b) Se é outra transformação linear não nula e dependente linearmente de
, mostrar que
.
a) Mostrar que a dimensão do núcleo de
b) Se
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como transformação linear, núcleo (ou kernel), dimensão de subespaços e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é o núcleo de uma transformação linear. Para uma transformação linear
, o núcleo
é o conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o elemento zero em
. Em outras palavras:
O núcleo é um subespaço de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teorema do posto e da nulidade (Rank-Nullity Theorem). Esse teorema nos diz que para uma transformação linear
, onde
tem dimensão
, a soma da dimensão do núcleo de
e a dimensão da imagem de
(também chamada de posto de
) é igual a
:
No nosso caso,
, que é um espaço vetorial de dimensão 1. Portanto, a dimensão da imagem de
pode ser no máximo 1.
Passo 4
Vamos considerar as possibilidades para
:
- Se
é a transformação trivial, ou seja, para todo , então e . - Se
não é trivial, então existe pelo menos um vetor em tal que , o que implica que e .
Passo 5
Aplicando o teorema do posto e da nulidade:
- Se
, então:
- Se
, então:
Portanto,
é igual a
ou
.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que se
é outra transformação linear não nula e dependente linearmente de
em
, então
.
Primeiro, ser dependente linear significa que existe um escalar
em
tal que
.
Passo 7
Como
, para qualquer vetor
:
Então,
-
Se
, então , o que implica que . Portanto, . -
Se
, então , o que implica que . Como (pois é não nula), devemos ter . Portanto, .
Passo 8
Assim, mostramos que:
O que implica que:
Resposta
a) A dimensão do núcleo de
é igual a
ou
.
b) Se é uma transformação linear não nula dependente de
, então
.
b) Se