Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x-2 z, 0,-2 x+4 z). Determine:
Os autovalores de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores do operador linear definido por . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, autovalores e o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Isso facilita o cálculo dos autovalores. Cada transformação linear pode ser representada por uma matriz, onde as colunas correspondem à imagem dos vetores da base padrão.

Passo 3

Observando A = 1 & 0 & -2 0 & 0 & 0 -2 & 0 & 4 , podemos ver que:
Então, a matriz de é:

Passo 4

Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 5

Vamos calcular A - lambda I = 1 - lambda & 0 & -2 0 & -lambda & 0 -2 & 0 & 4 - lambda :

Passo 6

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = 1 - lambda & 0 & -2 0 & -lambda & 0 -2 & 0 & 4 - lambda
Como a segunda coluna tem dois zeros, fica mais fácil calcular:
det(A - lambda I) = -lambda cdot 1 - lambda & -2 -2 & 4 - lambda
Calculando o determinante da matriz (1 - lambda)(4 - lambda) - (-2)(-2) = (1 - lambda)(4 - lambda) - 4 :
(1 cdot 4) - 1 cdot lambda - 4 cdot lambda + lambda^2 - 4 = lambda^2 - 5lambda + 0
Expandindo:
det(A - lambda I) = -lambda (lambda^2 - 5lambda) = -lambda^3 + 5lambda^2
Então:

Passo 7

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
-lambda^3 + 5lambda^2 = 0 lambda^2 ( -lambda + 5 ) = 0
Portanto, as soluções são:
lambda = 0 (com mu

Resposta

Os autovalores de são (com multiplicidade 2) e .

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