Considere o operador linear definido por . Determine:
Os autovalores de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores do operador linear definido por . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, autovalores e o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Isso facilita o cálculo dos autovalores. Cada transformação linear pode ser representada por uma matriz, onde as colunas correspondem à imagem dos vetores da base padrão.
Passo 3
Observando , podemos ver que:
Então, a matriz de é:
Passo 4
Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.