Mostrar que os pontos A=(2,6,3), B=(3,2,2), C=(0,5,4) e D=(1,1,3) são vértices de um paralelepípedo, e determinar qual seu volume.
R: 0 , não é um paralelepipedo

Passo 1

Beleza, vamos olhar esse problema juntos! A gente tem quatro pontos no espaço: A=(2,6,3), B=(3,2,2), C=(0,5,4) e D=(1,1,3). A questão pede pra gente verificar se esses pontos são vértices de um paralelepípedo e, se forem, descobrir o volume desse paralelepípedo. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria no espaço, como vetores, produto vetorial e determinado de um paralelepípedo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um paralelepípedo. É uma figura tridimensional formada por seis retângulos (ou paralelogramos) onde as faces opostas são iguais e paralelas. Para quatro pontos serem vértices de um paralelepípedo, eles precisam formar três vetores que são mutuamente paralelos nas suas faces.

Passo 3

Vamos identificar os vetores que conectam esses pontos. Podemos escolher A como ponto de referência:
  • Vetor AB: B - A = (3-2, 2-6, 2-3) = (1, -4, -1)
  • Vetor AC: C - A = (0-2, 5-6, 4-3) = (-2, -1, 1)
  • Vetor AD: D - A = (1-2, 1-6, 3-3) = (-1, -5, 0)

Passo 4

Agora, para esses vetores formarem um paralelepípedo, eles devem ser linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Vamos calcular o determinante formado por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, eles são independentes e formam um paralelepípedo.

Passo 5

Calculando o determinante:
Det = 1 & -4 & -1 -2 & -1 & 1 -1 & -5 & 0
Vamos expandir:
Det = 1 cdot (-1 cdot 0 - 1 cdot (-5)) - (-4) cdot (-2 cdot 0 - 1 cdot (-1)) + (-1) cdot (-2 cdot (-5) - (-1) cdot (-1))
Det = 1 cdot (0 + 5) - (-4) cdot (0 + 1) + (-1) cdot (10 - 1)
Det = 5 + 4 - 9 = 0

Passo 6

Como o determinante é zero, isso significa que os vetores são linearmente dependentes. Portanto, os pontos A, B, C e D não formam um paralelepípedo.

Resposta

0, não é um paralelepípedo.

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