Mostrar que os pontos e são vértices de um paralelepípedo, e determinar qual seu volume.
R: 0 , não é um paralelepipedo
Passo 1
Beleza, vamos olhar esse problema juntos! A gente tem quatro pontos no espaço: A=(2,6,3), B=(3,2,2), C=(0,5,4) e D=(1,1,3). A questão pede pra gente verificar se esses pontos são vértices de um paralelepípedo e, se forem, descobrir o volume desse paralelepípedo. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria no espaço, como vetores, produto vetorial e determinado de um paralelepípedo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um paralelepípedo. É uma figura tridimensional formada por seis retângulos (ou paralelogramos) onde as faces opostas são iguais e paralelas. Para quatro pontos serem vértices de um paralelepípedo, eles precisam formar três vetores que são mutuamente paralelos nas suas faces.
Passo 3
Vamos identificar os vetores que conectam esses pontos. Podemos escolher A como ponto de referência:
Vetor AB: B - A = (3-2, 2-6, 2-3) = (1, -4, -1)
Vetor AC: C - A = (0-2, 5-6, 4-3) = (-2, -1, 1)
Vetor AD: D - A = (1-2, 1-6, 3-3) = (-1, -5, 0)
Passo 4
Agora, para esses vetores formarem um paralelepípedo, eles devem ser linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Vamos calcular o determinante formado por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, eles são independentes e formam um paralelepípedo.