Considere o operador linear definido por . Determine:
A soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para determinar a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores de um operador linear . Isso significa que vamos precisar achar os autovalores de e, para cada um, descobrir a dimensão do espaço dos vetores que são “esticados” por por esse fator (os chamados autovetores). No fundo, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Dado que , a matriz de é:
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
Isso nos dá os autovalores (com multiplicidade algébrica 2) e (com multiplicidade algébrica 1).
Passo 3
Agora, vamos achar a multiplicidade geométrica de cada autovalor, ou seja, a dimensão do espaço dos autovetores associados.
Para x - 2z = 0 0 = 0 -2x + 4z = 0 :
Resolvemos -2(2z) + 4z = -4z + 4z = 0 :
(1 - 5)x - 2z = 0 -5y = 0 -2x + (4 -5)z = 0
Da primeira equação, -4x - 2z = 0 y = 0 -2x - z = 0 . A segunda equação já está satisfeita. Da terceira equação, substituindo -4x -2(-2x) = -4x +4x = 0 :
Portanto, os vetores são da forma , onde e são livres. Isso significa que o espaço dos autovetores para é 2-dimensional. Então, a multiplicidade geométrica é 2.
Para :
Resolvemos :
Da terceira equação, . Substituindo na primeira equação:
Então, os vetores são da forma , onde é livre. Isso significa que o espaço dos autovetores para é 1-dimensional. Portanto, a multiplicidade geométrica é 1.
Resposta
A soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores de é 3.