Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x-2 z, 0,-2 x+4 z). Determine:
A soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para determinar a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores de um operador linear . Isso significa que vamos precisar achar os autovalores de e, para cada um, descobrir a dimensão do espaço dos vetores que são “esticados” por por esse fator (os chamados autovetores). No fundo, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador 1 & 0 & -2 0 & 0 & 0 -2 & 0 & 4 como uma matriz. Dado que det(T - lambda I) = 0 , a matriz de 1 - lambda & 0 & -2 0 & -lambda & 0 -2 & 0 & 4 - lambda = 0 é:
(-lambda) cdot [(1 - lambda)(4 - lambda) - (-2)(-2)] = 0
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
(1 - lambda)(4 - lambda) = 4 -5lambda + lambda^2
Subtraindo 4 -5lambda + lambda^2 - 4 = lambda^2 -5lambda na diagonal principal, temos:
-lambda (lambda^2 -5lambda) = 0 lambda^3 -5lambda^2 = 0 lambda^2 (lambda -5) = 0
Calculando o determinante:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, o determinante fica:
Isso nos dá os autovalores (com multiplicidade algébrica 2) e (com multiplicidade algébrica 1).

Passo 3

Agora, vamos achar a multiplicidade geométrica de cada autovalor, ou seja, a dimensão do espaço dos autovetores associados.
Para x - 2z = 0 0 = 0 -2x + 4z = 0 :
Resolvemos -2(2z) + 4z = -4z + 4z = 0 :
(1 - 5)x - 2z = 0 -5y = 0 -2x + (4 -5)z = 0
Da primeira equação, -4x - 2z = 0 y = 0 -2x - z = 0 . A segunda equação já está satisfeita. Da terceira equação, substituindo -4x -2(-2x) = -4x +4x = 0 :
Portanto, os vetores são da forma , onde e são livres. Isso significa que o espaço dos autovetores para é 2-dimensional. Então, a multiplicidade geométrica é 2.
Para :
Resolvemos :
Da terceira equação, . Substituindo na primeira equação:
Então, os vetores são da forma , onde é livre. Isso significa que o espaço dos autovetores para é 1-dimensional. Portanto, a multiplicidade geométrica é 1.

Resposta

A soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores de é 3.

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