Dados u=(2,-1) e v=(x, 0), calcular x de modo que se tenha 2 u cdot(u+v)=-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores, u = (2, -1) e v = (x, 0). O objetivo é encontrar o valor de x que satisfaz a equação 2, u cdot (u + v) = -2. Vamos precisar entender o que é o produto escalar de vetores e como aplicar isso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor u + v. Somando os componentes dos vetores u e v:
u + v = (2 + x, -1 + 0) = (2 + x, -1)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot (u + v). O produto escalar de dois vetores (a, b) e (c, d) é dado por:
u cdot (u + v) = a cdot c + b cdot d
Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot (u + v) = 2 cdot (2 + x) + (-1) cdot (-1) = 2(2 + x) + 1

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
2(2 + x) + 1 = 4 + 2x + 1 = 5 + 2x

Passo 5

A equação dada é 2, u cdot (u + v) = -2. Substituindo o que encontramos:
2(5 + 2x) = -2
Agora, vamos resolver para x.

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 2:
5 + 2x = -1
Subtraindo 5 de ambos os lados:
2x = -6
E finalmente, dividindo por 2:
x = -3

Resposta

O valor de x que satisfaz a equação é x = -3.

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