Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(2 x+y, x+y+z, y-3 z)
E seja R^3 com produto interno usual.
Mostre que T é operador autoadjunto mas não é ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear T(x, y, z) = (2x + y, x + y + z, y - 3z) definido por
e queremos mostrar duas coisas:
  1. é um operador autoadjunto.
  2. não é ortogonal.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de operadores, matrizes simétricas (para ser autoadjunto) e propriedades de operadores ortogonais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T(x, y, z) = 2x + y x + y + z y - 3z por uma matriz. Em A = 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & -3 , qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz de .
Analisando , vemos que:
Então, a matriz que representa é:

Passo 3

Agora, para A^T = 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & -3 ser autoadjunto, a matriz A = A^T precisa ser simétrica. Ou seja, deve ser igual à sua transposta .
Vamos calcular a transposta de :
Comparando com , vemos que são iguais:
Portanto, é simétrica, o que significa que é um operador autoadjunto.

Passo 4

Agora, vamos verificar se A^TA = 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & -3 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & -3 é ortogonal. Um operador é ortogonal se a matriz que o representa satisfaz A^TA = 2*2 + 1*1 + 0*0 & 2*1 + 1*1 + 0*1 & 2*0 + 1*1 + 0*(-3) 1*2 + 1*1 + 1*0 & 1*1 + 1*1 + 1*1 & 1*0 + 1*1 + 1*(-3) 0*2 + 1*1 + (-3)*0 & 0*1 + 1*1 + (-3)*1 & 0*0 + 1*1 + (-3)*(-3) , onde A^TA = 5 & 3 & 1 3 & 3 & -2 1 & -2 & 10 é a matriz identidade.
Vamos calcular I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 :
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:
A matriz resultante não é a identidade :
Como , não é ortogonal.

Resposta

O operador é autoadjunto mas não é ortogonal.

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