E seja com produto interno usual.
Mostre que é operador autoadjunto mas não é ortogonal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear definido por
e queremos mostrar duas coisas:
é um operador autoadjunto.
não é ortogonal.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de operadores, matrizes simétricas (para ser autoadjunto) e propriedades de operadores ortogonais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador por uma matriz. Em , qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz de .
Analisando , vemos que:
Então, a matriz que representa é:
Passo 3
Agora, para ser autoadjunto, a matriz precisa ser simétrica. Ou seja, deve ser igual à sua transposta .
Vamos calcular a transposta de :
Comparando com , vemos que são iguais:
Portanto, é simétrica, o que significa que é um operador autoadjunto.
Passo 4
Agora, vamos verificar se é ortogonal. Um operador é ortogonal se a matriz que o representa satisfaz , onde é a matriz identidade.