Considere o operador linear definido por
E seja com produto interno usual.
Mostre que é operador autoadjunto mas não é ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear definido por
e queremos mostrar duas coisas:
  1. é um operador autoadjunto.
  2. não é ortogonal.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de operadores, matrizes simétricas (para ser autoadjunto) e propriedades de operadores ortogonais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador por uma matriz. Em , qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz de .
Analisando , vemos que:
Então, a matriz que representa é:

Passo 3

Agora, para ser autoadjunto, a matriz precisa ser simétrica. Ou seja, deve ser igual à sua transposta .
Vamos calcular a transposta de :
Comparando com , vemos que são iguais:
Portanto, é simétrica, o que significa que é um operador autoadjunto.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é ortogonal. Um operador é ortogonal se a matriz que o representa satisfaz , onde é a matriz identidade.
Vamos calcular :
Fazendo a multiplicação:
Simplificando:
A matriz resultante não é a identidade :
Como , não é ortogonal.

Resposta

O operador é autoadjunto mas não é ortogonal.

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Se e encontre
c) ,
Calcule os determinantes, das seguintes matrizes:
(a)
Calcule os determinantes, das seguintes matrizes:
(e)
Se e encontre
d) ,