Considere o operador linear cuja matriz em relação à base canônica de é dada por . Calcule os autovetores e os respectivos subespaços próprios (auto-espaços) associados ao operador linear .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os autovetores e os subespaços próprios (também chamados de auto-espaços) de um operador linear cuja matriz na base canônica é:
Para resolver isso, vamos precisar entender autovalores e autovetores, que são conceitos fundamentais em álgebra linear. Vamos seguir passo a passo para encontrar essas entidades.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .
Passo 3
Vamos calcular a matriz :
Como essa matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Passo 4
Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Isso nos dá os autovalores:
Passo 5
Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os autovetores, ou seja, os vetores que satisfazem .
Para :
Resolvendo :
Da terceira equação, . Substituindo na segunda, , que é sempre verdade. Na primeira, .
Portanto, o vetor autovetor tem a forma , onde é qualquer número real.
Para :
Resolvendo :
Da segunda equação, ou . Substituindo na primeira equação:
Portanto, o vetor autovetor tem a forma , onde é qualquer número real.
Resposta
Os autovalores do operador são (com multiplicidade 2) e .
Para : Todos os vetores da forma , onde , são autovetores. O subespaço próprio associado é o conjunto de todos esses vetores, ou seja, o eixo x em .
Para : Todos os vetores da forma , onde , são autovetores. O subespaço próprio associado é a linha gerada pelo vetor .