Considere o operador linear T: R^3 longrightarrow R^3 cuja matriz em relação à base canônica de R^3 é dada por (lll1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 2). Calcule os autovetores e os respectivos subespaços próprios (auto-espaços) associados ao operador linear T.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os autovetores e os subespaços próprios (também chamados de auto-espaços) de um operador linear A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 2 cuja matriz na base canônica é:
Para resolver isso, vamos precisar entender autovalores e autovetores, que são conceitos fundamentais em álgebra linear. Vamos seguir passo a passo para encontrar essas entidades.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 3

Vamos calcular a matriz A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 2 0 & 1 - lambda & 3 0 & 0 & 2 - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda)(2 - lambda)
Como essa matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 4

Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(1 - lambda)^2 (2 - lambda) = 0
Isso nos dá os autovalores:

Passo 5

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os autovetores, ou seja, os vetores A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 que satisfazem 0x + 1y + 2z = 0 0x + 0y + 3z = 0 0x + 0y + 1z = 0 .
Para x 0 0 :
A - 2I = -1 & 1 & 2 0 & -1 & 3 0 & 0 & 0
Resolvendo -1x + 1y + 2z = 0 0x - 1y + 3z = 0 0x + 0y + 0z = 0 :
-x + 3z + 2z = 0 Rightarrow -x + 5z = 0 Rightarrow x = 5z
Da terceira equação, 5z 3z z . Substituindo na segunda, 5 3 1 , que é sempre verdade. Na primeira, .
Portanto, o vetor autovetor tem a forma , onde é qualquer número real.
Para :
Resolvendo :
Da segunda equação, ou . Substituindo na primeira equação:
Portanto, o vetor autovetor tem a forma , onde é qualquer número real.

Resposta

Os autovalores do operador x 0 0 são 5 3 1 (com multiplicidade 2) e 5 3 1 .
  • Para : Todos os vetores da forma , onde , são autovetores. O subespaço próprio associado é o conjunto de todos esses vetores, ou seja, o eixo x em .
  • Para : Todos os vetores da forma , onde , são autovetores. O subespaço próprio associado é a linha gerada pelo vetor .

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