Considere o operador linear cuja matriz em relação à base canônica de é dada por . Calcule os autovetores e os respectivos subespaços próprios (auto-espaços) associados ao operador linear T.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os autovetores e os subespaços próprios (também chamados de auto-espaços) de um operador linear A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 2 cuja matriz na base canônica é:
Para resolver isso, vamos precisar entender autovalores e autovetores, que são conceitos fundamentais em álgebra linear. Vamos seguir passo a passo para encontrar essas entidades.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .
Como essa matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Passo 4
Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(1 - lambda)^2 (2 - lambda) = 0
Isso nos dá os autovalores:
Passo 5
Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os autovetores, ou seja, os vetores A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 que satisfazem 0x + 1y + 2z = 0 0x + 0y + 3z = 0 0x + 0y + 1z = 0 .