Verifique de os seguintes operadores lineares são diagonalizáveis e em caso afirmativo determine a matriz diagonal correspondente.
11a dado por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o operador linear definido por é diagonalizável. Se for, também precisamos determinar a matriz diagonal correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes de transformações, valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores).
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Sabemos que para uma transformação linear , a matriz associada é:
No nosso caso, , então:
Passo 3
Agora, para verificar se a matriz é diagonalizável, precisamos encontrar seus valores próprios (autovalores). Os valores próprios são soluções da equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os valores próprios. Vamos calcular:
Calculando o determinante:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Com os valores próprios encontrados, vamos determinar os vetores próprios (autovetores) correspondentes a cada .
Para :
Resolvendo, temos:
Podemos escolher , então . Assim, um vetor próprio é .
Para :
Resolvendo, temos:
Podemos escolher , então . Assim, outro vetor próprio é .
Passo 5
Agora que temos dois vetores próprios distintos e , que são linearmente independentes, isso significa que conseguimos formar uma base composta por vetores próprios. Portanto, a matriz é diagonalizável.
Passo 6
Para encontrar a matriz diagonal correspondente, organizamos os valores próprios na diagonal principal da matriz . Assim:
Resposta
Sim, o operador é diagonalizável. A matriz diagonal correspondente é: