Verifique de os seguintes operadores lineares são diagonalizáveis e em caso afirmativo determine a matriz diagonal correspondente.
11a
T: R^2 R^2 dado por T(x, y)=(2 y, 3 x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o operador linear definido por é diagonalizável. Se for, também precisamos determinar a matriz diagonal correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes de transformações, valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores).

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = a & b c & d como uma matriz. Sabemos que para uma transformação linear A = 0 & 2 3 & 0 , a matriz associada é:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, para verificar se a matriz det(A - lambda I) = 0 é diagonalizável, precisamos encontrar seus valores próprios (autovalores). Os valores próprios são soluções da equação característica:
A - lambda I = -lambda & 2 3 & -lambda
Onde det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (2)(3) = lambda^2 - 6 é a matriz identidade e lambda^2 - 6 = 0 implies lambda = raiz6 ou lambda = -raiz6 representa os valores próprios. Vamos calcular:
Calculando o determinante:
Então, a equação característica é:

Passo 4

Com os valores próprios encontrados, vamos determinar os vetores próprios (autovetores) correspondentes a cada (A - raiz6I) v = 0 implies -raiz6 & 2 3 & -raiz6 v1 v2 = 0 0 .
Para -raiz6 v1 + 2 v2 = 0 implies v1 = 2raiz6 v2 :
2 raiz6
Resolvendo, temos:
(A + raiz6I) v = 0 implies raiz6 & 2 3 & raiz6 v1 v2 = 0 0
Podemos escolher raiz6 v1 + 2 v2 = 0 implies v1 = -2raiz6 v2 , então -2 raiz6 . Assim, um vetor próprio é .
Para :
Resolvendo, temos:
Podemos escolher , então . Assim, outro vetor próprio é .

Passo 5

Agora que temos dois vetores próprios distintos e , que são linearmente independentes, isso significa que conseguimos formar uma base composta por vetores próprios. Portanto, a matriz é diagonalizável.

Passo 6

Para encontrar a matriz diagonal correspondente, organizamos os valores próprios na diagonal principal da matriz D = raiz6 & 0 0 & -raiz6 . Assim:

Resposta

Sim, o operador D = raiz6 & 0 0 & -raiz6 é diagonalizável. A matriz diagonal correspondente é:

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