Verifique de os seguintes operadores lineares são diagonalizáveis e em caso afirmativo determine a matriz diagonal correspondente.
11a
dado por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o operador linear definido por é diagonalizável. Se for, também precisamos determinar a matriz diagonal correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes de transformações, valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores).

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Sabemos que para uma transformação linear , a matriz associada é:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, para verificar se a matriz é diagonalizável, precisamos encontrar seus valores próprios (autovalores). Os valores próprios são soluções da equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os valores próprios. Vamos calcular:
Calculando o determinante:
Então, a equação característica é:

Passo 4

Com os valores próprios encontrados, vamos determinar os vetores próprios (autovetores) correspondentes a cada .
Para :
Resolvendo, temos:
Podemos escolher , então . Assim, um vetor próprio é .
Para :
Resolvendo, temos:
Podemos escolher , então . Assim, outro vetor próprio é .

Passo 5

Agora que temos dois vetores próprios distintos e , que são linearmente independentes, isso significa que conseguimos formar uma base composta por vetores próprios. Portanto, a matriz é diagonalizável.

Passo 6

Para encontrar a matriz diagonal correspondente, organizamos os valores próprios na diagonal principal da matriz . Assim:

Resposta

Sim, o operador é diagonalizável. A matriz diagonal correspondente é:

Exercícios relacionados

Considere o operador linear cuja matriz em relação à base canônica de é dada por . Calcule os autovetores e os respectivos subespaços próprios (auto-espaços) associados ao operador linear .
Considere o operador linear dado por
Mostre que operador linear não admite autovetores.
Mostre que , para todo par de vetores e é um produto interno em . E verifique se e são ortogonais, em relação a este produto interno, nos seguintes casos:
13a
e .
Considere subespaço vetorial de . Verifique se cada uma das bases abaixos de são ortonormais:
16a