Verifique de os seguintes operadores lineares são diagonalizáveis e em caso afirmativo determine a matriz diagonal correspondente.
11a
dado por
.
11a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o operador linear
definido por
é diagonalizável. Se for, também precisamos determinar a matriz diagonal correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes de transformações, valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores).
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear
como uma matriz. Sabemos que para uma transformação linear
, a matriz associada é:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora, para verificar se a matriz
é diagonalizável, precisamos encontrar seus valores próprios (autovalores). Os valores próprios são soluções da equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os valores próprios. Vamos calcular:
Calculando o determinante:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Com os valores próprios encontrados, vamos determinar os vetores próprios (autovetores) correspondentes a cada
.
Para
:
Resolvendo, temos:
Podemos escolher
, então
. Assim, um vetor próprio é
.
Para
:
Resolvendo, temos:
Podemos escolher
, então
. Assim, outro vetor próprio é
.
Passo 5
Agora que temos dois vetores próprios distintos
e
, que são linearmente independentes, isso significa que conseguimos formar uma base composta por vetores próprios. Portanto, a matriz
é diagonalizável.
Passo 6
Para encontrar a matriz diagonal correspondente, organizamos os valores próprios na diagonal principal da matriz
. Assim:
Resposta
Sim, o operador
é diagonalizável. A matriz diagonal correspondente é: