Seja um operador linear tal que
4a
Encontre para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a expressão geral de um operador linear que transforma vetores de para . Para isso, precisamos usar os valores que já conhecemos de em certos vetores e, a partir disso, descobrir como age em qualquer vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um operador linear pode ser representado por uma matriz. No nosso caso, é um operador linear de para , então podemos representá-lo por uma matriz 3x3. Nosso objetivo é encontrar essa matriz .

Passo 3

Sabemos que transforma os vetores , e nos vetores , e , respectivamente. Vamos usar essas informações para montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar os elementos da matriz .

Passo 4

Vamos representar a matriz assim:
Quando aplicamos a um vetor , obtemos:

Passo 5

Agora, vamos usar os vetores fornecidos para encontrar os valores de .
Para :
Isso simplifica para:

Passo 6

Para :
Simplificando:

Passo 7

Para :
Simplificando:

Passo 8

Agora que temos todos os valores, a matriz fica:

Resposta

Portanto, para qualquer vetor , o operador é dado por:

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Considere o operador linear cuja matriz em relação à base canônica de é dada por . Calcule os autovetores e os respectivos subespaços próprios (auto-espaços) associados ao operador linear .