Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a expressão geral de um operador linear que transforma vetores de para . Para isso, precisamos usar os valores que já conhecemos de em certos vetores e, a partir disso, descobrir como age em qualquer vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um operador linear pode ser representado por uma matriz. No nosso caso, é um operador linear de para , então podemos representá-lo por uma matriz 3x3. Nosso objetivo é encontrar essa matriz .
Passo 3
Sabemos que transforma os vetores , e nos vetores , e , respectivamente. Vamos usar essas informações para montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar os elementos da matriz .
Passo 4
Vamos representar a matriz assim:
Quando aplicamos a um vetor , obtemos:
Passo 5
Agora, vamos usar os vetores fornecidos para encontrar os valores de .
Para :
Isso simplifica para:
Passo 6
Para :
Simplificando:
Passo 7
Para :
Simplificando:
Passo 8
Agora que temos todos os valores, a matriz fica:
Resposta
Portanto, para qualquer vetor , o operador é dado por: