Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a expressão geral de um operador linear que transforma vetores de para . Para isso, precisamos usar os valores que já conhecemos de em certos vetores e, a partir disso, descobrir como age em qualquer vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um operador linear pode ser representado por uma matriz. No nosso caso, é um operador linear de para , então podemos representá-lo por uma matriz 3x3. Nosso objetivo é encontrar essa matriz .
Passo 3
Sabemos que transforma os vetores , e nos vetores , e , respectivamente. Vamos usar essas informações para montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar os elementos da matriz .
Passo 4
Vamos representar a matriz assim:
Quando aplicamos a um vetor , obtemos:
Passo 5
Agora, vamos usar os vetores fornecidos para encontrar os valores de a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 = 2 d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot 0 = 3 g cdot 1 + h cdot 0 + i cdot 0 = 1 .
Para a = 2, d = 3, g = 1 :
Isso simplifica para:
Passo 6
Para 2 cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 = 5 3 cdot 1 + e cdot 1 + f cdot 0 = 2 1 cdot 1 + h cdot 1 + i cdot 0 = 7 :
2 + b = 5 Rightarrow b = 3 3 + e = 2 Rightarrow e = -1 1 + h = 7 Rightarrow h = 6