Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que
T(1,0,0) doteq(2,3,1), T(1,1,0) doteq(5,2,7) e T(1,1,1) doteq(-2,0,7)
4a
Encontre T(x, y, z) para (x, y, z) in R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a expressão geral de um operador linear que transforma vetores de para . Para isso, precisamos usar os valores que já conhecemos de em certos vetores e, a partir disso, descobrir como age em qualquer vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um operador linear pode ser representado por uma matriz. No nosso caso, é um operador linear de para , então podemos representá-lo por uma matriz 3x3. Nosso objetivo é encontrar essa matriz .

Passo 3

Sabemos que transforma os vetores , e nos vetores , e , respectivamente. Vamos usar essas informações para montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar os elementos da matriz .

Passo 4

Vamos representar a matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i assim:
T(x, y, z) = A x y z = a x + b y + c z d x + e y + f z g x + h y + i z
Quando aplicamos a um vetor , obtemos:

Passo 5

Agora, vamos usar os vetores fornecidos para encontrar os valores de a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 = 2 d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot 0 = 3 g cdot 1 + h cdot 0 + i cdot 0 = 1 .
Para a = 2, d = 3, g = 1 :
Isso simplifica para:

Passo 6

Para 2 cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 = 5 3 cdot 1 + e cdot 1 + f cdot 0 = 2 1 cdot 1 + h cdot 1 + i cdot 0 = 7 :
2 + b = 5 Rightarrow b = 3 3 + e = 2 Rightarrow e = -1 1 + h = 7 Rightarrow h = 6
Simplificando:

Passo 7

Para 2 cdot 1 + 3 cdot 1 + c cdot 1 = -2 3 cdot 1 + (-1) cdot 1 + f cdot 1 = 0 1 cdot 1 + 6 cdot 1 + i cdot 1 = 7 :
2 + 3 + c = -2 Rightarrow c = -7 3 - 1 + f = 0 Rightarrow f = -2 1 + 6 + i = 7 Rightarrow i = 0
Simplificando:

Passo 8

Agora que temos todos os valores, a matriz A = 2 & 3 & -7 3 & -1 & -2 1 & 6 & 0 fica:

Resposta

Portanto, para qualquer vetor T(x, y, z) = 2x + 3y - 7z 3x - y - 2z x + 6y , o operador é dado por:

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