Mostre que =x1 y1+2 x2 y2, para todo par de vetores u=(x1, x2) e v=(y1, y2) é um produto interno em R^2. E verifique se u e v são ortogonais, em relação a este produto interno, nos seguintes casos:
13a
u=(1,1) e v=(2,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a função é um produto interno no espaço . Além disso, temos que verificar se os vetores e são ortogonais em relação a esse produto interno. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e o que significa dois vetores serem ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em deve satisfazer quatro propriedades:
  1. Comutatividade:
  2. Linearidade na primeira entrada:
  3. Positividade: e igual a zero se e somente se
  4. Definido positivo: deve resultar em números reais.
Vamos verificar se a função dada atende a essas propriedades.

Passo 3

Comutatividade: Vamos ver se . Claramente, e , então a comutatividade é satisfeita.

Passo 4

Linearidade na primeira entrada: Precisamos mostrar que lang<= a u + b w, v rang<= = lang<= (a x1 + b z1, a x2 + b z2), (y1, y2) rang<= = (a x1 + b z1) y1 + 2 (a x2 + b z2) y2 . Se = a x1 y1 + b z1 y1 + 2 a x2 y2 + 2 b z2 y2 = a (x1 y1 + 2 x2 y2) + b (z1 y1 + 2 z2 y2) = a lang<= u, v rang<= + b lang<= w, v rang<= e , então:
Distribuindo:
Então, a linearidade é satisfeita.

Passo 5

Positividade: Vamos calcular . Como e são sempre maiores ou iguais a zero, a soma também é. Além disso, se e somente se e , ou seja, . Então, a positividade também está garantida.

Passo 6

Definido positivo: Como já vimos que é sempre maior ou igual a zero e igual a zero apenas quando é o vetor nulo, a função é definida positiva.

Passo 7

Como todas as propriedades de um produto interno foram verificadas, concluímos que é realmente um produto interno em .

Passo 8

Agora, vamos verificar se os vetores lang<= u, v rang<= = (1)(2) + 2(1)(-1) = 2 + (-2) = 0 e são ortogonais. Dois vetores são ortogonais em relação a um produto interno se .
Vamos calcular:
Como o resultado é zero, os vetores e são ortogonais em relação a este produto interno.

Resposta

Sim, a função é um produto interno em e os vetores e são ortogonais em relação a este produto interno.

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