Mostre que
, para todo par de vetores
e
é um produto interno em
. E verifique se
e
são ortogonais, em relação a este produto interno, nos seguintes casos:
13a
e
.
13a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a função
é um produto interno no espaço
. Além disso, temos que verificar se os vetores
e
são ortogonais em relação a esse produto interno. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e o que significa dois vetores serem ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em
deve satisfazer quatro propriedades:
- Comutatividade:
- Linearidade na primeira entrada:
- Positividade:
e igual a zero se e somente se - Definido positivo:
deve resultar em números reais.
Vamos verificar se a função dada atende a essas propriedades.
Passo 3
Comutatividade: Vamos ver se
. Claramente,
e
, então a comutatividade é satisfeita.
Passo 4
Linearidade na primeira entrada: Precisamos mostrar que
. Se
e
, então:
Distribuindo:
Então, a linearidade é satisfeita.
Passo 5
Positividade: Vamos calcular
. Como
e
são sempre maiores ou iguais a zero, a soma também é. Além disso,
se e somente se
e
, ou seja,
. Então, a positividade também está garantida.
Passo 6
Definido positivo: Como já vimos que
é sempre maior ou igual a zero e igual a zero apenas quando
é o vetor nulo, a função é definida positiva.
Passo 7
Como todas as propriedades de um produto interno foram verificadas, concluímos que
é realmente um produto interno em
.
Passo 8
Agora, vamos verificar se os vetores
e
são ortogonais. Dois vetores são ortogonais em relação a um produto interno se
.
Vamos calcular:
Como o resultado é zero, os vetores
e
são ortogonais em relação a este produto interno.
Resposta
Sim, a função
é um produto interno em
e os vetores
e
são ortogonais em relação a este produto interno.