Mostre que , para todo par de vetores e é um produto interno em . E verifique se e são ortogonais, em relação a este produto interno, nos seguintes casos:
13a
e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a função é um produto interno no espaço . Além disso, temos que verificar se os vetores e são ortogonais em relação a esse produto interno. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e o que significa dois vetores serem ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em deve satisfazer quatro propriedades:
  1. Comutatividade:
  2. Linearidade na primeira entrada:
  3. Positividade: e igual a zero se e somente se
  4. Definido positivo: deve resultar em números reais.
Vamos verificar se a função dada atende a essas propriedades.

Passo 3

Comutatividade: Vamos ver se . Claramente, e , então a comutatividade é satisfeita.

Passo 4

Linearidade na primeira entrada: Precisamos mostrar que . Se e , então:
Distribuindo:
Então, a linearidade é satisfeita.

Passo 5

Positividade: Vamos calcular . Como e são sempre maiores ou iguais a zero, a soma também é. Além disso, se e somente se e , ou seja, . Então, a positividade também está garantida.

Passo 6

Definido positivo: Como já vimos que é sempre maior ou igual a zero e igual a zero apenas quando é o vetor nulo, a função é definida positiva.

Passo 7

Como todas as propriedades de um produto interno foram verificadas, concluímos que é realmente um produto interno em .

Passo 8

Agora, vamos verificar se os vetores e são ortogonais. Dois vetores são ortogonais em relação a um produto interno se .
Vamos calcular:
Como o resultado é zero, os vetores e são ortogonais em relação a este produto interno.

Resposta

Sim, a função é um produto interno em e os vetores e são ortogonais em relação a este produto interno.

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Verifique de os seguintes operadores lineares são diagonalizáveis e em caso afirmativo determine a matriz diagonal correspondente.
11a
dado por .
Considere o operador linear cuja matriz em relação à base canônica de é dada por . Calcule os autovetores e os respectivos subespaços próprios (auto-espaços) associados ao operador linear .
Considere subespaço vetorial de . Verifique se cada uma das bases abaixos de são ortonormais:
16a
Encontrar os autovalores e suas respectivas multiplicidades (algébrica e geométrica) e os autovetores do operador linear nos seguintes casos:
8a
.