Mostre que , para todo par de vetores e é um produto interno em . E verifique se e são ortogonais, em relação a este produto interno, nos seguintes casos:
13a e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a função é um produto interno no espaço . Além disso, temos que verificar se os vetores e são ortogonais em relação a esse produto interno. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e o que significa dois vetores serem ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em deve satisfazer quatro propriedades:
Comutatividade:
Linearidade na primeira entrada:
Positividade: e igual a zero se e somente se
Definido positivo: deve resultar em números reais.
Vamos verificar se a função dada atende a essas propriedades.
Passo 3
Comutatividade: Vamos ver se . Claramente, e , então a comutatividade é satisfeita.
Passo 4
Linearidade na primeira entrada: Precisamos mostrar que . Se e , então:
Distribuindo:
Então, a linearidade é satisfeita.
Passo 5
Positividade: Vamos calcular . Como e são sempre maiores ou iguais a zero, a soma também é. Além disso, se e somente se e , ou seja, . Então, a positividade também está garantida.
Passo 6
Definido positivo: Como já vimos que é sempre maior ou igual a zero e igual a zero apenas quando é o vetor nulo, a função é definida positiva.
Passo 7
Como todas as propriedades de um produto interno foram verificadas, concluímos que é realmente um produto interno em .
Passo 8
Agora, vamos verificar se os vetores e são ortogonais. Dois vetores são ortogonais em relação a um produto interno se .
Vamos calcular:
Como o resultado é zero, os vetores e são ortogonais em relação a este produto interno.
Resposta
Sim, a função é um produto interno em e os vetores e são ortogonais em relação a este produto interno.