Considere o operador linear dado por
Mostre que operador linear não admite autovetores.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que o operador linear definido por não possui autovetores. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovetores e autovalores.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um autovetor de e um escalar devem satisfazer a equação:
Ou seja:

Passo 3

Isso nos dá um sistema de duas equações:

Passo 4

Vamos substituir a equação (2) na equação (1). Da equação (2), temos . Substituindo em (1):

Passo 5

Rearranjando a equação:

Passo 6

Para que o vetor seja um autovetor não trivial (ou seja, ), a expressão deve ser igual a zero:

Passo 7

No conjunto dos números reais, não existe nenhum número que satisfaça , porque o quadrado de qualquer número real é não negativo.

Resposta

Portanto, o operador linear não admite autovetores em .

Exercícios relacionados

Seja um operador linear tal que
4a
Encontre para .
Determine uma transformação linear tal que
Considere o operador linear cuja matriz em relação à base canônica de é dada por . Calcule os autovetores e os respectivos subespaços próprios (auto-espaços) associados ao operador linear .
Verifique de os seguintes operadores lineares são diagonalizáveis e em caso afirmativo determine a matriz diagonal correspondente.
11a
dado por .