Mostre que operador linear não admite autovetores.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que o operador linear definido por não possui autovetores. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovetores e autovalores.
Passo 2
Primeiro, lembramos que um autovetor de e um escalar devem satisfazer a equação:
Ou seja:
Passo 3
Isso nos dá um sistema de duas equações:
Passo 4
Vamos substituir a equação (2) na equação (1). Da equação (2), temos . Substituindo em (1):
Passo 5
Rearranjando a equação:
Passo 6
Para que o vetor seja um autovetor não trivial (ou seja, ), a expressão deve ser igual a zero:
Passo 7
No conjunto dos números reais, não existe nenhum número que satisfaça , porque o quadrado de qualquer número real é não negativo.
Resposta
Portanto, o operador linear não admite autovetores em .