Considere o operador linear
dado por
Mostre que operador linear
não admite autovetores.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que o operador linear
definido por
não possui autovetores. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovetores e autovalores.
Passo 2
Primeiro, lembramos que um autovetor
de
e um escalar
devem satisfazer a equação:
Ou seja:
Passo 3
Isso nos dá um sistema de duas equações:
Passo 4
Vamos substituir a equação (2) na equação (1). Da equação (2), temos
. Substituindo em (1):
Passo 5
Rearranjando a equação:
Passo 6
Para que o vetor
seja um autovetor não trivial (ou seja,
), a expressão
deve ser igual a zero:
Passo 7
No conjunto dos números reais, não existe nenhum número
que satisfaça
, porque o quadrado de qualquer número real é não negativo.
Resposta
Portanto, o operador linear
não admite autovetores em
.