Considere o operador linear T: R^2 longrightarrow R^2 dado por
T(x, y) doteq(-y, x), (x, y) in R^2
Mostre que operador linear T não admite autovetores.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que o operador linear definido por não possui autovetores. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovetores e autovalores.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um autovetor T(v) = lambda v de (-y, x) = (lambda x, lambda y) e um escalar devem satisfazer a equação:
Ou seja:

Passo 3

Isso nos dá um sistema de duas equações:
-y = lambda x (1)
x = lambda y (2)

Passo 4

Vamos substituir a equação (2) na equação (1). Da equação (2), temos -y = lambda (lambda y) . Substituindo em (1):
-y = lambda^2 y

Passo 5

Rearranjando a equação:
lambda^2 y + y = 0
y (lambda^2 + 1) = 0

Passo 6

Para que o vetor lambda^2 + 1 = 0 seja um autovetor não trivial (ou seja, lambda^2 = -1 ), a expressão deve ser igual a zero:

Passo 7

No conjunto dos números reais, não existe nenhum número que satisfaça , porque o quadrado de qualquer número real é não negativo.

Resposta

Portanto, o operador linear não admite autovetores em .

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