Determine uma transformação linear tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma transformação linear que transforma três vetores específicos em quatro dimensões. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar como uma matriz e usar os vetores dados para encontrar os elementos dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja,
onde é um vetor em e é a matriz que queremos encontrar. Cada coluna de corresponde à imagem dos vetores da base canônica de sob .

Passo 3

Vamos chamar a matriz de:
Nosso objetivo é encontrar os valores desses . Para isso, usamos as informações dadas no enunciado:

Passo 4

Vamos traduzir essas informações em equações. Sabendo que , temos:
  1. Para :
Isso resulta em:
  1. Para :
Isso nos dá:
  1. Para :
Isso resulta em:
Agora, vamos substituir nas equações anteriores:
Da primeira equação de :
Da primeira equação de :
Substituindo na equação :
Agora, para as demais variáveis:
Da segunda equação de :
Da segunda equação de :
Substituindo na equação :
Para a terceira linha:
Da terceira equação de :
Da terceira equação de :
Substituindo na equação :
Para a quarta linha:
Da quarta equação de :
Da quarta equação de :
Substituindo na equação :

Resposta

Então, a matriz que representa a transformação linear é:

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Julgue a veracidade das informações abaixo, assinalando para verdadeiro e para falso. Justifique cada uma de suas respostas: A área do triângulo determinado pelos vetores e é 4.
Determine a distância entre as retas reversas
Seja um operador linear tal que
4a
Encontre para .
Considere o operador linear dado por
Mostre que operador linear não admite autovetores.