Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma transformação linear que transforma três vetores específicos em quatro dimensões. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar como uma matriz e usar os vetores dados para encontrar os elementos dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja,
onde é um vetor em e é a matriz que queremos encontrar. Cada coluna de corresponde à imagem dos vetores da base canônica de sob .
Passo 3
Vamos chamar a matriz de:
Nosso objetivo é encontrar os valores desses . Para isso, usamos as informações dadas no enunciado:
Passo 4
Vamos traduzir essas informações em equações. Sabendo que , temos:
Para :
Isso resulta em:
Para :
Isso nos dá:
Para :
Isso resulta em:
Agora, vamos substituir nas equações anteriores:
Da primeira equação de :
Da primeira equação de :
Substituindo na equação :
Agora, para as demais variáveis:
Da segunda equação de :
Da segunda equação de :
Substituindo na equação :
Para a terceira linha:
Da terceira equação de :
Da terceira equação de :
Substituindo na equação :
Para a quarta linha:
Da quarta equação de :
Da quarta equação de :
Substituindo na equação :
Resposta
Então, a matriz que representa a transformação linear é: