Determine uma transformação linear T: R^3 R^4 tal que
T(1,1,1) doteq(2,0,0,0), T(1,1,0) doteq(1,1,-1,1) e T(1,0,0) doteq(0,0,0,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma transformação linear que transforma três vetores específicos em quatro dimensões. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar como uma matriz e usar os vetores dados para encontrar os elementos dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear T(x) = A x de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja,
onde é um vetor em e é a matriz que queremos encontrar. Cada coluna de corresponde à imagem dos vetores da base canônica de sob .

Passo 3

Vamos chamar a matriz A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 a41 & a42 & a43 de:
T(1,1,1) = (2,0,0,0)
Nosso objetivo é encontrar os valores desses T(1,1,0) = (1,1,-1,1) . Para isso, usamos as informações dadas no enunciado:
T(1,0,0) = (0,0,0,-1)

Passo 4

Vamos traduzir essas informações em equações. Sabendo que A 1 1 1 = 2 0 0 0 , temos:
  1. Para a11 + a12 + a13 = 2 :
a21 + a22 + a23 = 0
Isso resulta em:
a31 + a32 + a33 = 0
a41 + a42 + a43 = 0
A 1 1 0 = 1 1 -1 1
a11 + a12 = 1
  1. Para a21 + a22 = 1 :
a31 + a32 = -1
Isso nos dá:
a41 + a42 = 1
A 1 0 0 = 0 0 0 -1
a11 = 0
a21 = 0
  1. Para a31 = 0 :
a41 = -1
Isso resulta em:
0 + a12 + a13 = 2 Rightarrow a12 + a13 = 2
0 + a12 = 1 Rightarrow a12 = 1
1 + a13 = 2 Rightarrow a13 = 1
0 + a22 + a23 = 0 Rightarrow a22 + a23 = 0
Agora, vamos substituir 0 + a22 = 1 Rightarrow a22 = 1 nas equações anteriores:
Da primeira equação de 1 + a23 = 0 Rightarrow a23 = -1 :
0 + a32 + a33 = 0 Rightarrow a32 + a33 = 0
Da primeira equação de 0 + a32 = -1 Rightarrow a32 = -1 :
-1 + a33 = 0 Rightarrow a33 = 1
Substituindo -1 + a42 + a43 = 0 Rightarrow a42 + a43 = 1 na equação -1 + a42 = 1 Rightarrow a42 = 2 :
2 + a43 = 1 Rightarrow a43 = -1
Agora, para as demais variáveis:
Da segunda equação de :
Da segunda equação de :
Substituindo na equação :
Para a terceira linha:
Da terceira equação de :
Da terceira equação de :
Substituindo na equação :
Para a quarta linha:
Da quarta equação de :
Da quarta equação de :
Substituindo na equação :

Resposta

Então, a matriz que representa a transformação linear A = 0 & 1 & 1 0 & 1 & -1 0 & -1 & 1 -1 & 2 & -1 é:

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